Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$E,F,H',M$ đồng viên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 AGFDFM

AGFDFM

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:CBG

Đã gửi 24-11-2018 - 07:38

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ đường cao $AH,$ trung tuyến $AM,H'$ đối xứng $H$ qua $M.$ Tiếp tuyến tại $B,C$ CỦA $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Kẻ $PE \perp AB(E \in AB),PF \perp AC(F \in AC).$ Chứng minh $E,F,H',M$ đồng viên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 09-01-2019 - 22:32

CLCK69


#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 14-01-2019 - 14:18

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $H;J=FE \cap PM;K$ là hình chiếu $H'$ lên $EF;G=EF \cap BC;D=AP \cap (O) \neq A;BL,CN$ là đường cao $\Delta ABC$ cắt nhau ở $S;Q=NL \cap BC;R=AQ \cap (O) \neq A.$ Vẽ hai tia $Pa \parallel EF,Ab \parallel BC).$

Xét chùm $A(BCMb)=-1$ và $PE \perp AB,PF \perp AC,PM \perp AB.$ Lại có $\widehat{PFE}= \widehat{PAE}= \widehat{MAC}$ (do $AP$ là đường đối trung $\Delta ABC$ )

$\Rightarrow AM \perp EF \Rightarrow P(EFJa)=-1 \Rightarrow JE=JF.$ Do $AP$ đường kính $(AEF),J$ trung điểm $EF$ và $M$ là giao điểm của $PJ$ và đường cao hạ từ $A$ của $\Delta AEF$ nên theo kết quả quen thuộc thì $M$ là trực tâm $\Delta AEF$

$\Rightarrow JM=JP \Rightarrow \frac{AD}{DP}= \frac{AA'}{MP}= \frac{2AH}{2JP}= \frac{AH}{JP} \Rightarrow \overline{H,D,J}.$

Theo các kết quả quen thuộc, $R(QHBC)=-1=(ADBC) \Rightarrow R \in HD$ và:

$\widehat{GMK}= \widehat{GJH'}= \widehat{GJM}- \widehat{MJH}= \widehat{AMB}- \widehat{RHA}= \widehat{RMQ}=90^0- \widehat{AQM} \Rightarrow MK \perp AQ.$

Xét chùm $A(QHBC)=-1$ và $MF \perp AB,ME \perp AC,MK \perp AQ,MG \perp AH \Rightarrow M(EFKG)=-1 \Rightarrow GF.GE=GJ.GK=GM.GH'$

$\Rightarrow H' \in (MEF).$ Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 14-01-2019 - 14:18

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh