Đến nội dung

Hình ảnh

$E,F,H',M$ đồng viên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
AGFDFM

AGFDFM

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ đường cao $AH,$ trung tuyến $AM,H'$ đối xứng $H$ qua $M.$ Tiếp tuyến tại $B,C$ CỦA $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Kẻ $PE \perp AB(E \in AB),PF \perp AC(F \in AC).$ Chứng minh $E,F,H',M$ đồng viên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 09-01-2019 - 22:32


#2
halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 522 Bài viết

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $H;J=FE \cap PM;K$ là hình chiếu $H'$ lên $EF;G=EF \cap BC;D=AP \cap (O) \neq A;BL,CN$ là đường cao $\Delta ABC$ cắt nhau ở $S;Q=NL \cap BC;R=AQ \cap (O) \neq A.$ Vẽ hai tia $Pa \parallel EF,Ab \parallel BC).$

Xét chùm $A(BCMb)=-1$ và $PE \perp AB,PF \perp AC,PM \perp AB.$ Lại có $\widehat{PFE}= \widehat{PAE}= \widehat{MAC}$ (do $AP$ là đường đối trung $\Delta ABC$ )

$\Rightarrow AM \perp EF \Rightarrow P(EFJa)=-1 \Rightarrow JE=JF.$ Do $AP$ đường kính $(AEF),J$ trung điểm $EF$ và $M$ là giao điểm của $PJ$ và đường cao hạ từ $A$ của $\Delta AEF$ nên theo kết quả quen thuộc thì $M$ là trực tâm $\Delta AEF$

$\Rightarrow JM=JP \Rightarrow \frac{AD}{DP}= \frac{AA'}{MP}= \frac{2AH}{2JP}= \frac{AH}{JP} \Rightarrow \overline{H,D,J}.$

Theo các kết quả quen thuộc, $R(QHBC)=-1=(ADBC) \Rightarrow R \in HD$ và:

$\widehat{GMK}= \widehat{GJH'}= \widehat{GJM}- \widehat{MJH}= \widehat{AMB}- \widehat{RHA}= \widehat{RMQ}=90^0- \widehat{AQM} \Rightarrow MK \perp AQ.$

Xét chùm $A(QHBC)=-1$ và $MF \perp AB,ME \perp AC,MK \perp AQ,MG \perp AH \Rightarrow M(EFKG)=-1 \Rightarrow GF.GE=GJ.GK=GM.GH'$

$\Rightarrow H' \in (MEF).$ Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 14-01-2019 - 14:18

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh