Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 24-11-2018 - 20:31

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$. Tìm GTNN của $A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$



#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 24-11-2018 - 21:13

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$



#3 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 24-11-2018 - 21:27

???? :(  :blink:  :blink:



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 10:30

$\lceil$ Tổng quát: $\rfloor$

 

Cho các số thực $a,\,b,\,c$ dương với $\left ( a+ b+ c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )= 9+ m\,\,\left ( m\geqq 0,\,n\geqq 1 \right )$

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \left ( a^{\,n}+ b^{\,n}+ c^{\,n} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,n}}+ \frac{1}{b^{\,n}}+ \frac{1}{c^{\,n}} \right )$

 

Với $n= 2$ thì: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,2}\left ( 1,\,1,\,\frac{m+ 4+ \sqrt{m^{2}+ 8\,m}}{4} \right )= \frac{\left ( m+ 4 \right )^{2}}{2}+ 1$

 

Ta có: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )- 1- \frac{\left [ \text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- 5 \right ]^{\,2}}{2}= \frac{\left ( a- b \right )^{\,2}\left ( b- c \right )^{\,2}\left ( c- a \right )^{\,2}}{2\,a^{\,2}b^{\,2}c^{\,2}}\geqq 0$

 

nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$

 

 

$\lceil \,\,n= 3\,\,\rfloor$



#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:02

Nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$

 

$\lceil \,\,m= 2\,\,\rfloor$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\left ( a,\,b,\,c \right )= \left [ k\left ( 1,\,1,\,\left ( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2} \right ) \right ]$ và các hoán vị của nó!

 

Ta có:

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,1,\,\text{M} \right )$ với $\text{M}$ là nghiệm của phương trình ${\text{M}_{\,0}}^{2}- \frac{m+ 4}{2}\,\text{M}_{\,0}+ 1= 0\,\,\Leftrightarrow \,\,\text{M}_{\,0}= \frac{m+ 4+ \sqrt{m^{\,2}+ 8\,m}}{4}$

 

hay: $\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq 5+ 2\left ( \text{M}^{\,n}+ \text{M}^{\,-\,n} \right )$

 

$\text{A}_{\,3}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \frac{\left ( m+ 8 \right )\left ( m+ 4 \right )^{\,2}}{4}+ 1$

 

$\text{A}_{\,4}\left ( a,\,b,\,c\right )\geqq \frac{\left ( m^{\,2}+ m+ 8 \right )^{\,2}}{8}+ 1$

 

$\text{A}_{\,5}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \frac{\left ( m+ 8 \right )\left ( m^{\,2}+ 6\,m+ 4 \right )}{16}+ 1$



#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:08

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$

$$2\left ( \text{A}_{\,3}- 1 \right )- \left ( \text{A}_{\,1}- 1 \right )\left ( \text{A}_{\,2}- 1 \right )\geqq 0$$
$\lceil$ Xin lỗi, đề sai nha! $\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-11-2018 - 18:08


#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:37

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Với $\text{E}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{b^{\,n}}{c^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{a^{\,n}},\,\text{F}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{b^{\,n}}{a^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{a^{\,n}}{c^{\,n}}$ thì:

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Hoàn toàn tương tự:

 

$$\text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{F}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$



#8 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 14:30

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Với $\text{E}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{b^{\,n}}{c^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{a^{\,n}},\,\text{F}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{b^{\,n}}{a^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{a^{\,n}}{c^{\,n}}$ thì:

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Hoàn toàn tương tự:

 

$$\text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{F}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Từ trên, ta được: 

 

$$\frac{-\,3+ \text{N}^{2}- \left ( \text{N}- 3 \right )\sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2}\leqq \left [ \text{E}_{\,1},\,\text{F}_{\,1} \right ]\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \frac{-\,3+ \text{N}^{\,2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )\sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2}$$

 

$$\Leftrightarrow \,\,\left [ \text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- \text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right ) \right ]^{^{2}}+ \left [ \text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )+ \text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right ) \right ]^{^{2}}\leqq \left ( -\,3+ \text{N}^{\,2} \right )^{2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )^{3}\left ( \text{N}+ 1 \right )$$

 

$$\Leftrightarrow {\text{E}_{1}}^{2}\left ( a,\,b,\,c \right )+ {\text{F}_{1}}^{2}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \frac{1}{2}\left [ \left ( -\,3+ \text{N}^{\,2} \right )^{2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )^{3}\left ( \text{N}+ 1 \right ) \right ]$$

 

Ở bài trên gốc $\lceil\,\,\text{N}^{2}= 11\,\,\rfloor$ thì:

 

$\left ( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right )^{2}+ \left ( \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+ \frac{a}{c} \right )^{2}\leqq 178- 44\,\sqrt{11}\,\,$ $\Rightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a^{\,2}}{b^{\,2}}+ \sum\limits_{cyc}\,\frac{b^{\,2}}{a^{\,2}}\leqq 16\,\,\Rightarrow \,\,\left ( \sum\limits_{cyc}\,a^{\,2} \right )\left ( \sum\limits_{cyc}\,\frac{1}{a^{\,2}} \right )\leqq 19$



#9 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 14:36

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left [ \text{N}\left ( \text{N}- 2 \right ) \right ]^{2}$

 

$\text{A}_{\,3}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left ( \text{N}^{\,3}- 3\,\text{N}^{\,2}+ 3 \right )^{^{2}}$

 

$\text{A}_{\,4}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left [ \text{N}\left ( \text{N}- 2 \right )\left ( \text{N}^{\,2}- \text{N}- 2 \right ) \right ]^{\,2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-11-2018 - 14:38


#10 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 15:18

Cách khác với $m= 1,\,n= 2$ : $\lceil$ https://diendantoanh...72/#entry702543 $\rfloor$ 

 

 

$\lceil$ Tổng quát: $\rfloor$

 

Cho các số thực $a,\,b,\,c$ dương với $\left ( a+ b+ c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )= 9+ m\,\,\left ( m\geqq 0,\,n\geqq 1 \right )$

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \left ( a^{\,n}+ b^{\,n}+ c^{\,n} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,n}}+ \frac{1}{b^{\,n}}+ \frac{1}{c^{\,n}} \right )$

 

Với $n= 2$ thì: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,2}\left ( 1,\,1,\,\frac{m+ 4+ \sqrt{m^{2}+ 8\,m}}{4} \right )= \frac{\left ( m+ 4 \right )^{2}}{2}+ 1$

 

Ta có: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )- 1- \frac{\left [ \text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- 5 \right ]^{\,2}}{2}= \frac{\left ( a- b \right )^{\,2}\left ( b- c \right )^{\,2}\left ( c- a \right )^{\,2}}{2\,a^{\,2}b^{\,2}c^{\,2}}\geqq 0$

 

nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-11-2018 - 18:27


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1226 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 18:47

Giả sử rằng:

 

$\text{V}_{\,k}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )= \left ( {x_{\,1}}^{k}+ {x_{\,2}}^{k}+ \,...\,+ {x_{\,n}}^{k} \right )\left ( \frac{1}{{x_{\,1}}^{k}}+ \frac{1}{{x_{\,2}}^{k}}+ \,...\,+ \frac{1}{{x_{\,n}}^{k}} \right )$ , $x_{\,i}> 0\,\,\,\,\,\,\,\,\lceil \,\,i= \overline{1,\,n} \,\,\rfloor$

 

Khi đó:

 

$$\sqrt{\text{V}_{\,2}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}\leqq \sqrt{\text{V}_{\,1}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}\left [ \sqrt{\text{V}_{\,1}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}- n+ 1 \right ]$$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh