Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 24-11-2018 - 20:31

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$. Tìm GTNN của $A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$



#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 24-11-2018 - 21:13

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#3 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 24-11-2018 - 21:27

???? :(  :blink:  :blink:



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 10:30

$\lceil$ Tổng quát: $\rfloor$

 

Cho các số thực $a,\,b,\,c$ dương với $\left ( a+ b+ c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )= 9+ m\,\,\left ( m\geqq 0,\,n\geqq 1 \right )$

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \left ( a^{\,n}+ b^{\,n}+ c^{\,n} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,n}}+ \frac{1}{b^{\,n}}+ \frac{1}{c^{\,n}} \right )$

 

Với $n= 2$ thì: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,2}\left ( 1,\,1,\,\frac{m+ 4+ \sqrt{m^{2}+ 8\,m}}{4} \right )= \frac{\left ( m+ 4 \right )^{2}}{2}+ 1$

 

Ta có: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )- 1- \frac{\left [ \text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- 5 \right ]^{\,2}}{2}= \frac{\left ( a- b \right )^{\,2}\left ( b- c \right )^{\,2}\left ( c- a \right )^{\,2}}{2\,a^{\,2}b^{\,2}c^{\,2}}\geqq 0$

 

nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$

 

 

$\lceil \,\,n= 3\,\,\rfloor$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:02

Nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$

 

$\lceil \,\,m= 2\,\,\rfloor$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\left ( a,\,b,\,c \right )= \left [ k\left ( 1,\,1,\,\left ( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right )^{2} \right ) \right ]$ và các hoán vị của nó!

 

Ta có:

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,1,\,\text{M} \right )$ với $\text{M}$ là nghiệm của phương trình ${\text{M}_{\,0}}^{2}- \frac{m+ 4}{2}\,\text{M}_{\,0}+ 1= 0\,\,\Leftrightarrow \,\,\text{M}_{\,0}= \frac{m+ 4+ \sqrt{m^{\,2}+ 8\,m}}{4}$

 

hay: $\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq 5+ 2\left ( \text{M}^{\,n}+ \text{M}^{\,-\,n} \right )$

 

$\text{A}_{\,3}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \frac{\left ( m+ 8 \right )\left ( m+ 4 \right )^{\,2}}{4}+ 1$

 

$\text{A}_{\,4}\left ( a,\,b,\,c\right )\geqq \frac{\left ( m^{\,2}+ m+ 8 \right )^{\,2}}{8}+ 1$

 

$\text{A}_{\,5}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \frac{\left ( m+ 8 \right )\left ( m^{\,2}+ 6\,m+ 4 \right )}{16}+ 1$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:08

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$

$$2\left ( \text{A}_{\,3}- 1 \right )- \left ( \text{A}_{\,1}- 1 \right )\left ( \text{A}_{\,2}- 1 \right )\geqq 0$$
$\lceil$ Xin lỗi, đề sai nha! $\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-11-2018 - 18:08

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 13:37

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Với $\text{E}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{b^{\,n}}{c^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{a^{\,n}},\,\text{F}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{b^{\,n}}{a^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{a^{\,n}}{c^{\,n}}$ thì:

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Hoàn toàn tương tự:

 

$$\text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{F}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#8 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 14:30

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{A}_{\,n}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Với $\text{E}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{b^{\,n}}{c^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{a^{\,n}},\,\text{F}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \frac{b^{\,n}}{a^{\,n}}+ \frac{c^{\,n}}{b^{\,n}}+ \frac{a^{\,n}}{c^{\,n}}$ thì:

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Hoàn toàn tương tự:

 

$$\text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{F}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

$$\text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{E}_{\,1}\left ( 1,\,\frac{-\,1+ \text{N}- \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2},\,\frac{-\,1+ \text{N}+ \sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2} \right )$$

 

Từ trên, ta được: 

 

$$\frac{-\,3+ \text{N}^{2}- \left ( \text{N}- 3 \right )\sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2}\leqq \left [ \text{E}_{\,1},\,\text{F}_{\,1} \right ]\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \frac{-\,3+ \text{N}^{\,2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )\sqrt{\left ( \text{N}- 3 \right )\left ( \text{N}+ 1 \right )}}{2}$$

 

$$\Leftrightarrow \,\,\left [ \text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- \text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right ) \right ]^{^{2}}+ \left [ \text{E}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )+ \text{F}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right ) \right ]^{^{2}}\leqq \left ( -\,3+ \text{N}^{\,2} \right )^{2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )^{3}\left ( \text{N}+ 1 \right )$$

 

$$\Leftrightarrow {\text{E}_{1}}^{2}\left ( a,\,b,\,c \right )+ {\text{F}_{1}}^{2}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \frac{1}{2}\left [ \left ( -\,3+ \text{N}^{\,2} \right )^{2}+ \left ( \text{N}- 3 \right )^{3}\left ( \text{N}+ 1 \right ) \right ]$$

 

Ở bài trên gốc $\lceil\,\,\text{N}^{2}= 11\,\,\rfloor$ thì:

 

$\left ( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \right )^{2}+ \left ( \frac{b}{a}+ \frac{c}{b}+ \frac{a}{c} \right )^{2}\leqq 178- 44\,\sqrt{11}\,\,$ $\Rightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\,\frac{a^{\,2}}{b^{\,2}}+ \sum\limits_{cyc}\,\frac{b^{\,2}}{a^{\,2}}\leqq 16\,\,\Rightarrow \,\,\left ( \sum\limits_{cyc}\,a^{\,2} \right )\left ( \sum\limits_{cyc}\,\frac{1}{a^{\,2}} \right )\leqq 19$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#9 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 14:36

Với $\text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )= \text{N}^{\,2}\,\,\left ( \text{N}\geqq 3 \right )$ thì:

 

$\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left [ \text{N}\left ( \text{N}- 2 \right ) \right ]^{2}$

 

$\text{A}_{\,3}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left ( \text{N}^{\,3}- 3\,\text{N}^{\,2}+ 3 \right )^{^{2}}$

 

$\text{A}_{\,4}\left ( a,\,b,\,c \right )\leqq \left [ \text{N}\left ( \text{N}- 2 \right )\left ( \text{N}^{\,2}- \text{N}- 2 \right ) \right ]^{\,2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-11-2018 - 14:38

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#10 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 15:18

Cách khác với $m= 1,\,n= 2$ : $\lceil$ https://diendantoanh...72/#entry702543 $\rfloor$ 

 

 

$\lceil$ Tổng quát: $\rfloor$

 

Cho các số thực $a,\,b,\,c$ dương với $\left ( a+ b+ c \right )\left ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \right )= 9+ m\,\,\left ( m\geqq 0,\,n\geqq 1 \right )$

 

$\text{A}_{\,n}\left ( a,\,b,\,c \right )= \left ( a^{\,n}+ b^{\,n}+ c^{\,n} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,n}}+ \frac{1}{b^{\,n}}+ \frac{1}{c^{\,n}} \right )$

 

Với $n= 2$ thì: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )\geqq \text{A}_{\,2}\left ( 1,\,1,\,\frac{m+ 4+ \sqrt{m^{2}+ 8\,m}}{4} \right )= \frac{\left ( m+ 4 \right )^{2}}{2}+ 1$

 

Ta có: $\text{A}_{\,2}\left ( a,\,b,\,c \right )- 1- \frac{\left [ \text{A}_{\,1}\left ( a,\,b,\,c \right )- 5 \right ]^{\,2}}{2}= \frac{\left ( a- b \right )^{\,2}\left ( b- c \right )^{\,2}\left ( c- a \right )^{\,2}}{2\,a^{\,2}b^{\,2}c^{\,2}}\geqq 0$

 

nên ta có: $\text{A}_{\,2}= \left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\left ( \frac{1}{a^{\,2}}+ \frac{1}{b^{\,2}}+ \frac{1}{c^{\,2}} \right )\geqq 19$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-11-2018 - 18:27

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#11 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1694 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 25-11-2018 - 18:47

Giả sử rằng:

 

$\text{V}_{\,k}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )= \left ( {x_{\,1}}^{k}+ {x_{\,2}}^{k}+ \,...\,+ {x_{\,n}}^{k} \right )\left ( \frac{1}{{x_{\,1}}^{k}}+ \frac{1}{{x_{\,2}}^{k}}+ \,...\,+ \frac{1}{{x_{\,n}}^{k}} \right )$ , $x_{\,i}> 0\,\,\,\,\,\,\,\,\lceil \,\,i= \overline{1,\,n} \,\,\rfloor$

 

Khi đó:

 

$$\sqrt{\text{V}_{\,2}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}\leqq \sqrt{\text{V}_{\,1}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}\left [ \sqrt{\text{V}_{\,1}\left ( x_{\,1},\,x_{\,2},\,...,\,x_{\,n} \right )}- n+ 1 \right ]$$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh