Chủ đề này có 6 trả lời

[Leminhtri2003]

[Leminhtri2003]

Ai giúp em câu bất đi

[DOTOANNANG]

Đặt $a= \frac{x^{\,2}}{yz}\,\,\,\,\,\,\,b= \frac{y^{\,2}}{zx}\,\,\,\,\,\,\,c= \frac{z^{\,2}}{xy}$ . Khi đó:

 

$\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )+ 10\geqq \frac{9}{4}\left ( a+ 1 \right )\left ( b+ 1 \right )\left ( c+ 1 \right )$ $\Leftrightarrow \,\,10+ \left ( \frac{x^{\,2}}{yz}+ \frac{y^{\,2}}{zx} \right )\left ( \frac{z^{\,2}}{xy}+ \frac{x^{\,2}}{yz} \right )\left ( \frac{y^{\,2}}{zx}+ \frac{z^{\,2}}{xy} \right )\geqq \frac{9}{4}\left ( \frac{x^{\,2}}{yz}+ 1 \right )\left ( \frac{y^{\,2}}{zx}+ 1 \right )\left ( \frac{z^{\,2}}{xy}+ 1 \right )$

$\Leftrightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\left ( 3\,y^{\,6}z^{\,3}+ 3\,x^{\,3}y^{\,3}z^{\,3}+ 3\,z^{\,6}y^{\,3}- 9\,xy^{\,4}z^{\,4} \right )+ \sum\limits_{cyc}\left ( x^{\,6}y^{\,3}+ 7\,x^{\,3}y^{\,3}z^{\,3}+ z^{\,3}x^{\,6}- 9\,x^{\,5}y^{\,2}z^{\,2} \right )\geqq 0$

 

$\lceil$ Bất đẳng thức AM - GM với $n= 9$ (!) $\rfloor$

[huyenthoaivip1]

Đặt $a= \frac{x^{\,2}}{yz}\,\,\,\,\,\,\,b= \frac{y^{\,2}}{zx}\,\,\,\,\,\,\,c= \frac{z^{\,2}}{xy}$ . Khi đó:

 

$\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )+ 10\geqq \frac{9}{4}\left ( a+ 1 \right )\left ( b+ 1 \right )\left ( c+ 1 \right )$ $\Leftrightarrow \,\,10+ \left ( \frac{x^{\,2}}{yz}+ \frac{y^{\,2}}{zx} \right )\left ( \frac{z^{\,2}}{xy}+ \frac{x^{\,2}}{yz} \right )\left ( \frac{y^{\,2}}{zx}+ \frac{z^{\,2}}{xy} \right )\geqq \frac{9}{4}\left ( \frac{x^{\,2}}{yz}+ 1 \right )\left ( \frac{y^{\,2}}{zx}+ 1 \right )\left ( \frac{z^{\,2}}{xy}+ 1 \right )$

$\Leftrightarrow \,\,\sum\limits_{cyc}\left ( 3\,y^{\,6}z^{\,3}+ 3\,x^{\,3}y^{\,3}z^{\,3}+ 3\,z^{\,6}y^{\,3}- 9\,xy^{\,4}z^{\,4} \right )+ \sum\limits_{cyc}\left ( x^{\,6}y^{\,3}+ 7\,x^{\,3}y^{\,3}z^{\,3}+ z^{\,3}x^{\,6}- 9\,x^{\,5}y^{\,2}z^{\,2} \right )\geqq 0$

 

$\lceil$ Bất đẳng thức AM - GM với $n= 9$ (!) $\rfloor$

[Gianghg8910]

cho minh hoi sao ko xem duoc anh vay a

[Leminhtri2003]

https://scontent.fha...873&oe=5DC60A7C

Mình sẽ để link ảnh ở đây cho chắc vậy

P/s: cảm ơn 2 anh nhiều

[phongmaths]

Cách giải khác:

Ta có

BĐT cần chứng minh tương đương với 

$(a+b)(b+c)(c+a)+10\geq \frac{9}{4}(a+1)(b+1)(c+1)$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+10\geq \frac{9}{4}(abc+a+b+c+ab+bc+ca+1)$

Thay abc=1 ta được BĐT $(a+b+c)(ab+bc+ca)-1+10\geq \frac{9}{4}(1+a+b+c+ab+bc+ca+1) \Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)+9\geq \frac{9}{4}(a+b+c)+\frac{9}{4}(ab+bc+ca)+\frac{9}{2} \Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{9}{4}(a+b+c)-\frac{9}{4}(ab+bc+ca)+\frac{9}{2}\geq 0$

Mà do abc=1 nên theo BĐT AM-GM ta có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3, ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$

Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{3}{4}(a+b+c-3)(ab+bc+ca-3)+\frac{xy-9}{4}\geq 0$(BĐT đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1