Thời gian làm bài $210$ phút
Câu 1:
a) Giải phương trình: $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x$
b) Cho $a,b$ là các số thực bất kỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M=\sqrt{(a-1)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}}+\left | b-2 \right |$
Câu 2:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AD,BE,CF$ và $A_{1}$ đối xứng với $A$ qua $O$. Các đường thẳng $A_{1}B,A_{1}C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $M,N$; hai điểm $P,Q$ thuộc $EF$ sao cho $PB,QC$ vuông góc với $BC$. Các đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $QN,PM$ lần lượt cắ $(O)$ tại $X,Y$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh rằng $JA_{1}$ vuông góc với $BC$.
Câu 3:
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $ab$ là ước của $a+b^{2}+1$.
b) Chứng minh rằng nếu $n\epsilon \mathbb{N}:n\geq 2$ thì tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $ab$ là ước của $a^{n}+b^{2n}+1$.
Câu 4:
Tìm tất cả các hàm $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$
$f(\frac{x}{x-y})+f(xf(y)) =f(xf(x)) ( x,y\epsilon (0;+\infty ))$
Câu 5:
Cho dãy số $(u_{n})$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn $0\leq u_{m+n}-u_{m}-u_{n}\leq 2 (m,n\epsilon \mathbb{N}^{*})$
Có tồn tại hay không hai số thực dương $a,b$ sao cho $\left [ an \right ]+\left [ bn \right ]-1\leq u_{n}\leq \left [ an \right ]+\left [ bn \right ]+1 (n\epsilon \mathbb{N}^{*}:n\leq 2017)$
Câu 6:
Một trung tâm mở ra $7$ lớp học hè. Biết rằng mỗi học sinh trong trung tâm tham gia ít nhất một trong các lớp học này. Số liệu thống kê sau $7$ lớp học cho thấy mỗi lớp học có số học sinh tham dự bằng nhau và bằng $40$, ngoài ra cứ hai lớp học bất kỳ thì có không quá $9$ học sinh cả hai lớp đó. Chứng minh trung tâm có ít nhất $120$ học sinh tham dự các lớp học đó.
( Đáp án xin liên hệ thông tin với tạp chí Pi số 2 tháng 4 và tạp chí THTT tháng 3,4,9,10 năm 2017)