Đến nội dung

Hình ảnh

Bài kiểm tra định kỳ toán chuyên 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Thời gian làm bài $210$ phút

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x$

b) Cho $a,b$ là các số thực bất kỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{(a-1)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}}+\left | b-2 \right |$

Câu 2:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AD,BE,CF$ và $A_{1}$ đối xứng với $A$ qua $O$. Các đường thẳng $A_{1}B,A_{1}C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $M,N$; hai điểm $P,Q$ thuộc $EF$ sao cho $PB,QC$ vuông góc với $BC$. Các đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $QN,PM$ lần lượt cắ $(O)$ tại $X,Y$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh rằng $JA_{1}$ vuông góc với $BC$.

Câu 3:

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $ab$ là ước của $a+b^{2}+1$.

b) Chứng minh rằng nếu $n\epsilon \mathbb{N}:n\geq 2$ thì tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $ab$ là ước của $a^{n}+b^{2n}+1$.

Câu 4:

Tìm tất cả các hàm $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$

$f(\frac{x}{x-y})+f(xf(y)) =f(xf(x)) ( x,y\epsilon (0;+\infty ))$

Câu 5:

Cho dãy số $(u_{n})$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn $0\leq u_{m+n}-u_{m}-u_{n}\leq 2 (m,n\epsilon \mathbb{N}^{*})$

Có tồn tại hay không hai số thực dương $a,b$ sao cho $\left [ an \right ]+\left [ bn \right ]-1\leq u_{n}\leq \left [ an \right ]+\left [ bn \right ]+1 (n\epsilon \mathbb{N}^{*}:n\leq 2017)$

Câu 6:

Một trung tâm mở ra $7$ lớp học hè. Biết rằng mỗi học sinh trong trung tâm tham gia ít nhất một trong các lớp học này. Số liệu thống kê sau $7$ lớp học cho thấy mỗi lớp học có số học sinh tham dự bằng nhau và bằng $40$, ngoài ra cứ hai lớp học bất kỳ thì có không quá $9$ học sinh cả hai lớp đó. Chứng minh trung tâm có ít nhất $120$ học sinh tham dự các lớp học đó.

( Đáp án xin liên hệ thông tin với tạp chí Pi số 2 tháng 4 và tạp chí THTT tháng 3,4,9,10 năm 2017)


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2
NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

1a) <=>$\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=x$

$<=>x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$

$<=>x^3=x^2-1+x-1+2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^3-x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^6-2x^5-x^4++6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$

$<=>x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$

Vì $x=0$ không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho $x^4$ ta được:

$x^2-2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$<=>(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$

$(x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$x-\frac{1}{x}=1<=>x^2-x-1=0$

Mà từ điều kiền $x \geq 1=> x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 01-12-2018 - 23:01


#3
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

1a) <=>$\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=x$

$<=>x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$

$<=>x^3=x^2-1+x-1+2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^3-x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^6-2x^5-x^4++6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$

$<=>x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$

Vì $x=0$ không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho $x^4$ ta được:

$x^2-2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$<=>(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$

$(x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$x-\frac{1}{x}=1<=>x^2-x-1=0$

Mà từ điều kiền $x \geq 1=> x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x}(x-1)} \leq \frac{1}{2}(1+x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x-1)=x$


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#4
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

1b) Ta có:

$M=\sqrt{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})[(a-1)^2+b^2]}+M=\sqrt{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})[(a+1)^2+b^2]}+\vert b-2 \vert$

$\geq \frac{\sqrt{3}}{2}|1-a|+\frac{\sqrt{3}}{2}|a+1|+|b|+|2-b| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(1-a+a+1)+(b+2-b)=\sqrt{3}+2$

Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0,b=\frac{1}{\sqrt{3}}$


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#5
onpiece123

onpiece123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Câu 3 a) Từ gt => $\left\{\begin{matrix} a+1\vdots b & \\ b^{2}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} a+1=bk ( k>0 ) & \\ \frac{(a+1)^{2}}{k^{2}}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$  => $\left\{\begin{matrix} a+1=bk & \\ k^{2}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$

Mà $a\vdots k \Rightarrow k^{2}+1\vdots k\Rightarrow k=1$ => a=1 hoặc a=2

Nếu a=1 thì b=2 

Nếu a=2 thì b=3

Thử lại thỏa mãn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onpiece123: 02-12-2018 - 20:50





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh