Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bài kiểm tra định kỳ toán chuyên 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Tea Coffee

Tea Coffee

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 743 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 26-11-2018 - 20:50

Thời gian làm bài $210$ phút

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x$

b) Cho $a,b$ là các số thực bất kỷ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{(a-1)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}}+\left | b-2 \right |$

Câu 2:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AD,BE,CF$ và $A_{1}$ đối xứng với $A$ qua $O$. Các đường thẳng $A_{1}B,A_{1}C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $M,N$; hai điểm $P,Q$ thuộc $EF$ sao cho $PB,QC$ vuông góc với $BC$. Các đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $QN,PM$ lần lượt cắ $(O)$ tại $X,Y$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh rằng $JA_{1}$ vuông góc với $BC$.

Câu 3:

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $ab$ là ước của $a+b^{2}+1$.

b) Chứng minh rằng nếu $n\epsilon \mathbb{N}:n\geq 2$ thì tồn tại vô số cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $ab$ là ước của $a^{n}+b^{2n}+1$.

Câu 4:

Tìm tất cả các hàm $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$

$f(\frac{x}{x-y})+f(xf(y)) =f(xf(x)) ( x,y\epsilon (0;+\infty ))$

Câu 5:

Cho dãy số $(u_{n})$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn $0\leq u_{m+n}-u_{m}-u_{n}\leq 2 (m,n\epsilon \mathbb{N}^{*})$

Có tồn tại hay không hai số thực dương $a,b$ sao cho $\left [ an \right ]+\left [ bn \right ]-1\leq u_{n}\leq \left [ an \right ]+\left [ bn \right ]+1 (n\epsilon \mathbb{N}^{*}:n\leq 2017)$

Câu 6:

Một trung tâm mở ra $7$ lớp học hè. Biết rằng mỗi học sinh trong trung tâm tham gia ít nhất một trong các lớp học này. Số liệu thống kê sau $7$ lớp học cho thấy mỗi lớp học có số học sinh tham dự bằng nhau và bằng $40$, ngoài ra cứ hai lớp học bất kỳ thì có không quá $9$ học sinh cả hai lớp đó. Chứng minh trung tâm có ít nhất $120$ học sinh tham dự các lớp học đó.

( Đáp án xin liên hệ thông tin với tạp chí Pi số 2 tháng 4 và tạp chí THTT tháng 3,4,9,10 năm 2017)


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#2 NguyenHoaiTrung

NguyenHoaiTrung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-12-2018 - 23:00

1a) <=>$\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=x$

$<=>x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$

$<=>x^3=x^2-1+x-1+2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^3-x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^6-2x^5-x^4++6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$

$<=>x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$

Vì $x=0$ không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho $x^4$ ta được:

$x^2-2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$<=>(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$

$(x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$x-\frac{1}{x}=1<=>x^2-x-1=0$

Mà từ điều kiền $x \geq 1=> x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 01-12-2018 - 23:01


#3 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam

Đã gửi 02-12-2018 - 07:59

1a) <=>$\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=x$

$<=>x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$

$<=>x^3=x^2-1+x-1+2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^3-x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^6-2x^5-x^4++6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$

$<=>x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$

Vì $x=0$ không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho $x^4$ ta được:

$x^2-2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$<=>(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$

$(x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$x-\frac{1}{x}=1<=>x^2-x-1=0$

Mà từ điều kiền $x \geq 1=> x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x}(x-1)} \leq \frac{1}{2}(1+x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x-1)=x$



#4 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam

Đã gửi 02-12-2018 - 08:41

1b) Ta có:

$M=\sqrt{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})[(a-1)^2+b^2]}+M=\sqrt{(\frac{3}{4}+\frac{1}{4})[(a+1)^2+b^2]}+\vert b-2 \vert$

$\geq \frac{\sqrt{3}}{2}|1-a|+\frac{\sqrt{3}}{2}|a+1|+|b|+|2-b| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(1-a+a+1)+(b+2-b)=\sqrt{3}+2$

Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0,b=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#5 onpiece123

onpiece123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 02-12-2018 - 20:50

Câu 3 a) Từ gt => $\left\{\begin{matrix} a+1\vdots b & \\ b^{2}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} a+1=bk ( k>0 ) & \\ \frac{(a+1)^{2}}{k^{2}}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$  => $\left\{\begin{matrix} a+1=bk & \\ k^{2}+1\vdots a & \end{matrix}\right.$

Mà $a\vdots k \Rightarrow k^{2}+1\vdots k\Rightarrow k=1$ => a=1 hoặc a=2

Nếu a=1 thì b=2 

Nếu a=2 thì b=3

Thử lại thỏa mãn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onpiece123: 02-12-2018 - 20:50





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh