Cho a, b, c > 0 và a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4. Chứng minh : a2013+b2013+c2013=a2014+b2014+c2014.
#2
Đã gửi 28-11-2018 - 19:05
ThuanTri
-
- Thành viên
-
- 62 Bài viết
Hạ sĩ
Ta có a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4.Suy ra a2+b2+c2-2(a3+b3+c3)+a4+b4+c4 =0
$\Leftrightarrow$ a2(a-1)2+b2(b-1)2+c2(c-1)2=0
Mà a,b,c>0 nên chỉ có thể a=b=c=1
Thế a=b=c=1 vào biểu thức, ta có điều phải chứng minh
Trăm năm Kiều vẫn là Kiều
Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.
#4
Đã gửi 06-12-2018 - 10:42
DOTOANNANG
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 1609 Bài viết
Đại úy
Đặt $\text{V}_{\,n}= {x_{\,1}}^{\,n}+ {x_{\,2}}^{\,n}+ {x_{\,3}}^{\,n}$ , ta luôn có:
$\text{V}_{\,r}\text{V}_{\,s}\geqq {\text{V}_{\,n}}^{2}$ với $n= \frac{r+ s}{2}$ , đúng theo bất đẳng thức (Murihead) với $\left [ r,\,s,\,0 \right ]\succeq \left [ n,\,n,\,0 \right ],\,\left [ r,\,0,\,s \right ]\succeq \left [ n,\,0,\,n \right ]$ (!)
Do đó: $r= 4,\,s= 2$ (không mất tính tổng quát cho chứng minh trên với $r\geqq s$ ), ta được: $\left ( a^{\,4}+ b^{\,4}+ c^{\,4} \right )\left ( a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2} \right )\geqq \left ( a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3} \right )^{\,2}$ , dấu bằng xảy ra khi $a= b= c$, và suy ra ngay $a= b= c= 1$ , từ đó ta có điều phải chứng minh (!)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 06-12-2018 - 16:08
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
