Bài $2$: Bài này còn có nhiều tính chất thú vị khác
Gọi $AI$ cắt $A-mix$ tại $Q$, tiếp tuyến tại $I$ với $(BIC)$ cắt $BC$ tại $V$, định nghĩa lại $T$ là tt kẻ từ $V$ tới $(O)$, $TN$ cắt $BC$ tại Z
+ Khi đó $VB/VC=(TB/TC)^2=(IB/IC)^2$ nên $IB/IC=TB/TC$
+ Ta có phương tích của $M$ với $2$ đg tròn Thebault tx $BC$ luôn là $MI^2$ cố định (Bổ đề $Archimedes$) nên khi cho $D$ là chân pg thì $(L), (K)$ tiếp xúc $AI$ tại $I$ ngoài ra vì $EF//A'N$ nên $(TEF)$ tx $(O)$
+ Chú ý $S(AIQE)=-1$ mà $S,I,N$ thẳng hàng theo t/c quen thuộc nên $SQ$ đi qua $W$ là điểm chính giữa cung $AN$. Gọi $IW$ cắt $(O)$ tại $T'$
$T'B/T'C=sinIWB/sinIWC=sinIWB/IB.IC/sinIWC.IB/IC=sinIBW/sinICW.IB/IC=sinNBC/2:sinNCB/2.IB/IC=IB/IC=TB/TC$
Do điểm $T$ được xác định duy nhất là tt kẻ từ $V$ tới $(O)$ nên $T=T'$
+ Mặt khác $ITS=INW=180-ISQ-SAN=90-ASQ-SAI=90-SQE=IES$
Vậy $T$ thuộc $(IES)$ nên $TEI=180-IST=TA'N$ mà $AI//A'N$ nên $T,E,A'$ thẳng hàng hay điểm $T$ được xác định ở đây cũng chính là điểm $T$ ở đầu bài
+ Dễ có $FDB=ADB=A/2+C=180-A/2-B=NB'A$ nên $ZDET$ nội tiếp
+ $FIZ=90-VIZ=IVZ/2=ITZ=ITF$ nên $FI^2=FT.FZ=FD.FE$
+ Lấy $U,R$ là giao của $FX, FY$ với $(XZT), (TZY)$ thì vì $FU.FX=FR.FY=FZ.FT=FI^2$ mà $FI$ tiếp xúc $K,L$ và $X,Y$ thuộc $(K), (L)$ nên $R, U$ thuộc $(L), (K)$
Chú ý $IRU=FIY+UTF=UTR+FIY-FYZ=UTR+FIR=UTR+RYI$ nên $(FET)$ tx $(L)$ cmtt $(FET)$ tx $(K)$ vậy ta có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 01-12-2018 - 12:25