Chủ đề này có 6 trả lời

[Toanhochoctoan]

Cho hàm số $y=x^3+6x^2+9x+3 (C)$. Tồn tại hai tiếp tuyến của $(C)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA=2019OB$. Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn?

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=x^3+6x^2+9x+3 (C)$. Tồn tại hai tiếp tuyến của $(C)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA=2019OB$. Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn?

$(C)$ là đồ thị hàm bậc ba, có tâm đối xứng là $I(-2;1)$

$y'=3x^2+12x+9=3(x+2)^2-3\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại mọi điểm luôn không nhỏ hơn $-3$

Do đồ thị có tâm đối xứng $I$ nên nếu tồn tại 2 tiếp tuyến của $(C)$ tại $P$ và $Q$ có cùng hệ số góc $k$ thì $P$ và $Q$ đối xứng qua $I$ $\Rightarrow PQ$ đi qua $I$

Gọi hệ số góc của đường thẳng $PQ$ là $a$ thì $\left | a \right |=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2019}$

Xét 2 đường thẳng $t_1,t_2$ qua $I$ có hệ số góc là $a_1=-\frac{1}{2019}$ và $a_2=\frac{1}{2019}$

Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại $I$ bằng $y'(-2)=-3$ và $a_1> -3$ ; $a_2> -3$

$\Rightarrow t_1$ và $(C)$ có $3$ điểm chung là $P_1,I,Q_1$ ; $t_2$ và $(C)$ có $3$ điểm chung là $P_2,I,Q_2$

Ứng với các tiếp điểm $P_1,Q_1$ ta có các tiếp tuyến có hệ số góc $k_1$ ; ứng với các tiếp điểm $P_2,Q_2$ ta có các tiếp tuyến có hệ số góc $k_2$ $\Rightarrow$ có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn.

[Toanhochoctoan]

$(C)$ là đồ thị hàm bậc ba, có tâm đối xứng là $I(-2;1)$
$y'=3x^2+12x+9=3(x+2)^2-3\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại mọi điểm luôn không nhỏ hơn $-3$
Do đồ thị có tâm đối xứng $I$ nên nếu tồn tại 2 tiếp tuyến của $(C)$ tại $P$ và $Q$ có cùng hệ số góc $k$ thì $P$ và $Q$ đối xứng qua $I$ $\Rightarrow PQ$ đi qua $I$
Gọi hệ số góc của đường thẳng $PQ$ là $a$ thì $\left | a \right |=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2019}$
Xét 2 đường thẳng $t_1,t_2$ qua $I$ có hệ số góc là $a_1=-\frac{1}{2019}$ và $a_2=\frac{1}{2019}$
Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại $I$ bằng $y'(-2)=-3$ và $a_1> -3$ ; $a_2> -3$
$\Rightarrow t_1$ và $(C)$ có $3$ điểm chung là $P_1,I,Q_1$ ; $t_2$ và $(C)$ có $3$ điểm chung là $P_2,I,Q_2$
Ứng với các tiếp điểm $P_1,Q_1$ ta có các tiếp tuyến có hệ số góc $k_1$ ; ứng với các tiếp điểm $P_2,Q_2$ ta có các tiếp tuyến có hệ số góc $k_2$ $\Rightarrow$ có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn.

Thầy ơi em làm cách này thầy xem được ko ạ
Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là các tiếp điểm. Ta có $k=f'(x_1)=f'(x_2) => x_1+x_2=-4$ => $x_2=-4-x_1$. Đường thẳng qua $AB$ có hệ số góc $k_{AB}=|1/2019|=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ => $k$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanhochoctoan: 01-12-2018 - 21:06

[chanhquocnghiem]

Thầy ơi em làm cách này thầy xem được ko ạ
Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là các tiếp điểm. Ta có $k=f'(x_1)=f'(x_2) => x_1+x_2=-4$ => $x_2=-4-x_1$. Đường thẳng qua $AB$ có hệ số góc $k_{AB}=|1/2019|=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ => $k$ .

Thử làm trọn vẹn bài toán xem có bao nhiêu giá trị $k$ ?

(Đừng gọi các tiếp điểm là $A,B$ để tránh trùng tên với các điểm $A,B$ trong đề bài)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-12-2018 - 21:21

[Toanhochoctoan]

Thử làm trọn vẹn bài toán xem có bao nhiêu giá trị $k$ ?
(Đừng gọi các tiếp điểm là $A,B$ để tránh trùng tên với các điểm $A,B$ trong đề bài)

Em giải phương trình tìm được $x_1$ nhưng có 4 giá trị trong đó có 2 cặp giá trị gàn giống nhau (Chắc là do sai số hay sao thầy).
Bài trên là luôn có 2 giá trị $k$ khi đồ thị có tâm đối xứng với hệ số góc qua tiếp điểm thỏa $> -3$ phải ko thầy?

[Toanhochoctoan]

Thử làm trọn vẹn bài toán xem có bao nhiêu giá trị $k$ ?
(Đừng gọi các tiếp điểm là $A,B$ để tránh trùng tên với các điểm $A,B$ trong đề bài)

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2x^3-12x^2-18x-4}{-4-2x}=|1/2019|$
=> $-2x^2-8x-2=|1/2019|$ (x ở trên là $x_1$) => 4 giá trị $x_1$ => 4 giá trị $k>-3$

[chanhquocnghiem]

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2x^3-12x^2-18x-4}{-4-2x}=|1/2019|$
=> $-2x^2-8x-2=|1/2019|$ (x ở trên là $x_1$) => 4 giá trị $x_1$ => 4 giá trị $k>-3$

Làm theo cách của bạn thì phải thế này :

Gọi $P,Q$ là các tiếp điểm và hệ số góc đường thẳng $PQ$ là $a$ (không dùng chữ $k$ vì dễ gây nhầm lẫn với $k$ trong đề bài)

Ta có $\left | a \right |=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2019}$ (chứ không phải $a=\left | \frac{1}{2019} \right |$)

Xét 2 trường hợp :

1) $a=a_1=-\frac{1}{2019}$

    Khi đó các tiếp điểm (nếu tồn tại) là $P_1(x_1,y_1)$ và $Q_1(x_2,y_2)$ (trong đó $x_1< x_2$)

    $x_1,x_2$ (nếu tồn tại) sẽ là nghiệm của pt sau (với $x_1< x_2$) :

    $\frac{-2x^3-12x^2-18x-4}{-4-2x}=-\frac{1}{2019}\Leftrightarrow 2019x^2+8076x+2020=0$

    Pt này có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow x_1,x_2$ tồn tại $\Rightarrow y'(x_1)=y'(x_2)=k_1$

2) $a=a_2=\frac{1}{2019}$

    Khi đó các tiếp điểm (nếu tồn tại) là $P_2(x_3,y_3)$ và $Q_2(x_4,y_4)$ (trong đó $x_3< x_4$)

    $x_3,x_4$ (nếu tồn tại) sẽ là nghiệm của pt sau (với $x_3< x_4$) :

    $\frac{-2x^3-12x^2-18x-4}{-4-2x}=\frac{1}{2019}\Leftrightarrow 2019x^2+8076x+2018=0$

    Pt này có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow x_3,x_4$ tồn tại $\Rightarrow y'(x_3)=y'(x_4)=k_2$

Vậy có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn.

 

------------------------------------------------------------------

Cách làm trên không hay lắm vì dài dòng và phải tính toán nhiều.

Còn cách của mình dựa vào nhận xét hệ số góc của tiếp tuyến không nhỏ hơn $-3$ (nghĩa là $y'(x)\geqslant -3$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=-2$, tức là tại tâm đối xứng $I$). Do đó mọi đường thẳng qua $I$ và có hệ số góc lớn hơn $-3$ đều có $3$ điểm chung với $(C)$ gồm $I$ và 2 tiếp điểm. Hơn nữa, hệ số góc tiếp tuyến tại 2 tiếp điểm này bằng nhau do tính đối xứng qua $I$. Ta chỉ cần xét 2 đường thẳng qua $I$ có hệ số góc $a_{1,2}=\pm \frac{1}{2019}$ (đều lớn hơn $-3$). Vậy ứng với mỗi đường thẳng này đều có $1$ giá trị $k$ $\Rightarrow$ có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn.