Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số tự nhiên n sao cho $n^{2}$ + $3^{n}$ là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Tìm số tự nhiên n sao cho $n^{2}$ + $3^{n}$ là số chính phương 

Mọi người giúp mình với ạ @@ 



#2
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Hình như câu này trong đề thi thử PTNK đúng ko bạn 



#3
vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

à không câu này mình thấy ở đâu đó trên mạng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 28-05-2019 - 23:57


#4
Tran Danh

Tran Danh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Bổ đề : Cho $n \geq 4$, chứng minh $3n^2 < 3^n (n \in N)$

- Với $n = 4$ => $3n^2 = 3 * 4^2 = 3 * 16 = 48$ còn $3^n = 3^4 = 81$

$48 < 81$ = > $3n^2 < 3^n$

Cho $n^2 + 3^n = m^2$ với $m\in N, m > n$

<=> $(m - n)(m + n) = 3^n$

 

- Với $n = k$, $k\in N$, Cho $3k^2 < 3^k$

 

- Với $n = k+1$ => $3^{k+1} = 3^k * 3 > 3k^2 * 3 = 3 * [(k+1)^2 + 2k^2 - 2k + 1)]$

Vì $k \geq 4$ => $(k+1)^2 > k^2 \geq 16$ => $k^2 + 2k + 1 > k^2 > 16$

=> $2k^2 + 2k + 1 - 2 > 16 + 16 - 2 > 0$

=> $3^{k+1} > 3(k+1)^2$

=> Với mọi $n \geq 4, n\in N$, $3n^2 < 3^n$

 

Giải : 

Cho$m - n = 3^q$ và $m + n = 3^p$ với $p > q$ và $p,q \in N$<=> $p - q \geq 1$

=> $3^{p-q} = \frac{m+n}{m-n} = 1 + \frac{2n}{m - n}$

=>$1 + \frac{2n}{m-n} \geq 3^1 = 3$

=> $\frac{2n}{m-n} \geq 2$

=>$n \geq m - n$ => $2n \geq m$

=> $3^n = (m - n)(m + n) \leq (2n - n)(2n + n) = 3n^2$

=>Theo bổ đề : $3n^2 < 3^n$ với $n \geq 4$ => $n \leq 3$

Thử trực tiếp, ta nhận $n = 1$ và $n = 3$ làm nghiệm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh