Chủ đề này có 1 trả lời

[Frosty Flame]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frosty Flame: 01-12-2018 - 14:27

[halloffame]

$3/$ Áp dụng phép vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{AC}{AF}$ ta đưa bài toán đã cho về bài toán sau:

Bài toán 3'. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ trực tâm $H,$ trung tuyến $AM,$ đường cao $AD,BE,CF.$ Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ ở $S,G$ là trung điểm $AH.$

$a)$ Chứng minh $SG \perp AM.$

$b)$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB,AC$ cắt $BH,CH$ tại $I,J.K,L$ là trung điểm $IC,JB.$ Chứng minh $OS \parallel KL.$

Giải.

$a) AOMG$ là hình bình hành $\Rightarrow MG \perp SA \Rightarrow G$ là trực tâm $\Delta AMS \Rightarrow SG \perp AM.$

$b)$

Bổ đề. $\Delta ABC$ nội tiếp $(O),M$ trung điểm $BC.$ Đường thẳng qua $B,C$ vuông góc $AB,AC$ cắt $AC,AB$ tại $G,H.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB,AC$ cắt đường thẳng qua $B,C$ đối xứng $AC,AB$ qua trung trực $AB,AC$ tại $E,F.$ Khi đó $AM$ là trục đẳng phương của $(ECG),(FBH).$

Chứng minh. Do đường thẳng $AF,CF$ đối xứng đường thẳng $CH,AH$ qua trung trực $AC$ nên $ACHF$ là hình chữ nhật, suy ra $CF,(O),(BHF)$ đồng quy tại $L$ và $ACBL$ là hình thang cân. Tương tự ta có $(O) \cap (ECG)=K$ và $ABCK$ là hình thang cân.

Gọi $D=LB \cap CK$ thì $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \overline{A,D,M}.$ Lại có $BL,CK$ là trục đẳng phương $(O)$ và $(BHF),(O)$ và $(CKG)$

$\Rightarrow AM$ là trục đẳng phương $(BHF),(CGE).$

Quay lại bài toán.

$JA \perp AC,AH \perp BC,HJ \perp BA \Rightarrow \Delta JHA \sim \Delta ABC \Rightarrow JG \perp AM.$

Tương tự $IG \perp AM \Rightarrow \overline{S,G,I,J}.$ Vẽ $A'$ đối xứng $A$ qua $SO$ thì $AA'$ là đường đối trung $\Delta ABC.$

Gọi đường thẳng qua $B,C$ vuông góc $AB,AC$ cắt $CA,AB$ tại $N,P;$ đường thẳng qua $A$ vuông góc $AB,AC$ cắt đường thẳng qua $B,C$ đối xứng $AC,AB$ qua trung trực $AB,AC$ tại $Q,R.$

Xét phép biến hình $f$ là hợp của phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích $AB.AC$ hợp với phép đối xứng qua phân giác $\widehat{BAC}.$

Ta có $f(B)=C,f(C)=B,f(F)=N,f(E)=P,f(A')=M.$ Do $\widehat{QBA}= \widehat{BAC}= \widehat{CJA} \Rightarrow \Delta AQB \sim \Delta ACJ$

$\Rightarrow AQ.AJ=AB.AC$ và $\widehat{QAC}= \widehat{BAJ} \Rightarrow f(J)=Q.$ Tương tự $f(I)=R \Rightarrow f((JFB))=(CNQ),f((CEI))=(JBP).$

Theo bổ đề $AM$ là trục đẳng phương $(CNQ),(JBP)$ nên qua phép biến hình $f$ thì $AA'$ là trục đẳng phương $(JFB),(CEI)$

$\Rightarrow A'A \perp KL \Rightarrow OS \parallel KL.$

Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-01-2019 - 23:35