Chủ đề này có 3 trả lời

[hanguyen225]

Tìm tất cả các số nguyên dương n để $n^{2018}+n^{2017}+1$ là số nguyên tố

 

[vmf999]

Nếu mình không lầm @@ :

$n^{2018}$+$n^{2017}$ + 1 

=($n^{2018}$ - $n^{2}$) + ($n^{2017}$ -n) + ($n^{2}$+n+1)

= $n^{2}$($n^{2016}$-1) + n($n^{2016}$-1) + ($n^{2}$+n+1)

= $n^{2}$($n^{3^{672}}$-$1^{672}$)+n($n^{3^{672}}$-$1^{672}$) + ($n^{2}$+n+1).

Áp dụng bổ đề : $a^{n}$-$b^{n}$ $\vdots$ (a-b)

$n^{3^{672}}$-$1^{672}$ $\vdots$ $n^{3}$-1 = (n-1)($n^{2}$+n+1)

=> $n^{3^{672}}$-$1^{672}$ $\vdots$ $n^{2}$+n+1

=> $n^{2}$($n^{3^{672}}$-$1^{672}$)+n($n^{3^{672}}$-$1^{672}$) + ($n^{2}$+n+1)$\vdots$ $n^{2}$+n+1

mà $n^{2}$($n^{3^{672}}$-$1^{672}$)+n($n^{3^{672}}$-$1^{672}$) + ($n^{2}$+n+1) là số nguyên tố nên : TH1:$n^{2}$+n+1 =1 <=> $n^{2}$+n=0 => n=0 , n=-1 (vô lý vì n nguyên dương)

TH2 : $n^{2}$+n+1 = $n^{2018}$+$n^{2017}$ + 1

<=> $n^{2018}$+$n^{2017} $-$n^{2}$-n=0

<=> $n^{2}$($n^{2016}$-1)+n($n^{2016}$-1)=0

<=>($n^{2016}$-1)($n^{2}$+n)=0

<=>$n^{2016}$=1 ($n^{2}$+n=0 vô nghiệm với n nguyên dương) .

Thay 1 vào biểu thức $n^{2018}$+$n^{2017}$+1 ta được :

1+1+1=3 là số nguyên tố .

Vậy n=1 là số nguyên dương cần tìm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 02-12-2018 - 23:24

[vmf999]

Mấy bài khác bạn còn cần không để tối nay mình gõ cho

[hanguyen225]

Có bạn