Cho A = $A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4+3}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n} CMR:A <\frac{\sqrt{n+1}-1}{2\sqrt{n+1}}$
#1
Đã gửi 05-12-2018 - 07:37
#2
Đã gửi 05-12-2018 - 19:02
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số dương ta có
$n+1+n>2 \sqrt{n\left ( n +1\right )}$
$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left ( n+1 \right )}}=\frac{1}{2}.\left (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}-1}{2+1}<\frac{1}{2}\left (1- \frac{1}{\sqrt{2}} \right )$
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}<\frac{1}{2}\left (\frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{1}{\sqrt{3}} \right )$
$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4+3}<\frac{1}{2}\left (\frac{1}{\sqrt{3}}- \frac{1}{\sqrt{4}} \right )$
Cộng theo vế lại $\Rightarrow \frac{\sqrt{2}-1}{2+1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3+2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4+3}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}<\frac{1}{2}.\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )=\frac{\sqrt{n+1}-1}{2\sqrt{n+1}}$ (ĐPCM)
Võ Sĩ Cua
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh bđt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tổng hợp các bài toán cực trị và chứng minh BĐTBắt đầu bởi Monkey Moon, 14-02-2019 toán 9, đại số, cực trị và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a,b > 0 thỏa mãn 1/a^2 + 1/b^2 = 2. Chứng minh a+b>= 2Bắt đầu bởi thanhnhan155, 18-04-2018 chứng minh bđt, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\leq \frac{1}{2}$Bắt đầu bởi minh04042006, 19-12-2017 chứng minh bđt |
|
|||
Vấn đề chung của Diễn đàn →
Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn →
chứng minh BĐTBắt đầu bởi thanh PB, 23-11-2016 chứng minh bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Chứng minh bđtBắt đầu bởi vnvanthanh84, 19-08-2016 chứng minh bđt |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh