Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c$\geq$ 1. CMR:$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3 +1}\geq \frac{3}{1+abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thptpbc

thptpbc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho a,b,c$\geq$ 1. CMR:$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3 +1}\geq \frac{3}{1+abc}$



#2
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Với $a,b,c \geq 1$, áp dụng bdt quen thuộc $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geq \frac{2}{1+xy}$ ta được:

$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+abc} \geq \frac{2}{1+a^2\sqrt{bc}}$ (1)

$\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3} \geq \frac{2}{1+bc\sqrt{bc}}$ (2)

Công vế (1) và (2) ta được

$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+a^2\sqrt{bc}}+\frac{2}{1+bc\sqrt{bc}} \geq \frac{4}{1+abc}$


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh