Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.

Ma trận Jordan và ứng dụng

Bắt đầu bởi toilachinhtoi, 21-07-2006 - 20:48

Please log in to reply

Chủ đề này có 5 trả lời

#1 toilachinhtoi

Sĩ quan

Thành viên
343 Bài viết

Đã gửi 21-07-2006 - 20:48

Trong topic này tôi muốn trình bày một số ứng dụng của ma trận Jordan để giải một số bài toán về đại số tuyến tính.

Ma trận (hay dạng chuẩn tắc) Jordan là một ma trận vuông http://dientuvietnam...tex.cgi?(a_{ij}) có dạng đơn giản http://dientuvietnam...ex.cgi?a_{ij}=0 nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^4, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^4 nên ta thấy ma trận Jordan của A (sau một số phép hoán vị hàng và cột) là một trong các ma trận sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_1=[[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_2=[[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_3=[[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_4=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J_5=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,1,0],[0,0,0,0]]
Kiểm tra trên tất cả các ma trận này ta thấy không có ma trận nào thỏa mãn.

VD2: Cho E là ma trận vuông http://dientuvietnam...ex.cgi?a_{ij}=1 nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j>i, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nếu ngược lại. Cho A là ma trận khả nghịch thỏa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AE=EA. Chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A+E khả nghịch.

Giải: Ta dễ dàng kiểm tra đa thức đặc trưng của E là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^n và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1 thỏa http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=1 nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j=i+1 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nơi khác (giống ma trận J5 trong ví dụ 1). Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C là ma trận chuyển đơn vị, nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E=C^{-1}E_1C. Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=C^{-1}A_1C. Ta dễ dàng thấy rằng bài toán không thay đổi nếu thay E và A bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_1,A_1. Bây giờ kiểm tra trực tiếp điều kiện http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1E_1=E_1A_1 ta thấy rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A_1 là ma trận đường chéo trên. Do đó $det(A_1+E_1)=det(A_1)\not= 0$ (đpcm).

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

Trở lên trên

#2 thuantd

Chấm dứt 5 năm (2003 - 2008) gắn bó...

Hiệp sỹ
1251 Bài viết

Giới tính:Nam
Đến từ:TP HCM, Việt Nam
Sở thích:Phiêu bạt chân trời...

Đã gửi 21-07-2006 - 22:32

Khi học về đại số tuyến tính, chắc hẳn mỗi người chúng ta đều có nghiên cứu về ma trận chéo - một dạng ma trận đặc biệt, lý tưởng cho việc tính lũy thừa của ma trận. Tuy nhiên, không phải mọi ma trận đều chéo hóa được (vì chỉ những ma trận vuông cấp n có đúng n vectơ riêng tạo thành hệ độc lập tuyến tính mới chéo hóa được). Điều kiện Jordan hóa một ma trận "mềm" hơn, chỉ đòi hỏi ma trận vuông cấp n đó có đúng n nghiệm (không nhất thiết phân biệt), nghĩa là các ma trận trên trường số phức luôn Jordan hóa được. Ma trận Jordan http://dientuvietnam...x.cgi?A=(a_{ij}) là một ma trận tam giác trên đặc biệt, nghĩa là:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{ij}=0 nếu i>j hoặc j>i+1 (tức là $j \notin \{ i, i+1 \}$ ).
$a_{i, i+1} \in \{0, 1\}, \quad \forall i=\overline{1,n-1}$
$\forall j \in \{ 1, \dots, n-1 \}: a_{i, i+1}=1 \Rightarrow a_{ii} = a_{i+1,i+1}$

(dĩ nhiên các phần tử của ma trận đều thuộc trường số K đã xét).

Ma trận dạng Jordan có khá nhiều số 0 so với các ma trận đồng dạng với nó và cũng tương đối thuận tiện cho việc tính toán. Ma trận chéo chỉ là một trường hợp đặc biệt của ma trận jordan với các phần tử ngoài đường chéo đều bằng 0 và như vậy không có một sự ràng buộc nào giữa hai phần tử liên tiếp trên đường chéo. Đưa về ma trận chéo, ta có thể tính được mũ n của một ma trận vuông, và đưa được về ma trận Jordan, việc tính mũ n của ma trận vuông có phần đơn giản hơn ma trận tùy ý (nhờ có nhiều số 0 ở ma trận Jordan).
Việc Jordan hóa ma trận có thể gợi cho chúng ta liên tưởng đến ý tưởng của phương pháp Gauss trong giải hệ phương trình tuyến tính: mỗi dòng còn càng ít ẩn càng tốt. Một ứng dụng khác của ma trận Jordan chính là giải hệ phương trình vi phân tuyến tính. Thay vì phải giải một hệ Y=A.X cồng kềnh, phức tạp, ta có thể đổi biến, đổi cơ sở để giải một hệ tương đương nhưng gọn nhẹ hơn Y'=A'.X' trong đó A' là ma trận Jordan (luôn biến đổi được nếu xem A là ma trận các hệ số phức). Hệ sau dễ giải hơn hệ trước, và qua phép biến đổi ngược, ta sẽ tìm được nghiệm của hệ phương trình vi phân ban đầu.

Có những lần say rượu ngã bờ ao
Vợ bắt gặp, chưa mắng một lời, đã chối
Cô gái nhà bên nhìn tôi cười bối rối
Vợ giận anh rồi, tối qua ngủ với em...

Trở lên trên

#3 toilachinhtoi

Sĩ quan

Thành viên
343 Bài viết

Đã gửi 19-08-2006 - 22:08

Thêm một ít về ma trận Jordan:
Hai ma trận A và B là đồng dạng nếu chúng có cùng ma trận Jordan.

Bây giờ ta xét một thủ tục đơn giản để tìm các khối Jordan của một ma trận.
Cho đơn giản ta xét bài toán sau: Xét A là ma trận với đa thức đặc trưng http://dientuvietnam...imetex.cgi?x^n. Hãy tìm các khối Jordan của A?
Trong cuốn sách của Serge Lang có trình bày một cách để tìm. Nhưng trong một số bài toán thì có một cách khác thích hợp hơn.
Ta kí hiệu http://dientuvietnam...091;0,0,...,0]] với số chiều k. Nhận xét rằng đa thức tối tiểu (minimal polynomial) của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?J_k là http://dientuvietnam...imetex.cgi?x^k. Như vậy nếu ta viết http://dientuvietnam...1},...,J_{k_m}] là ma trận Jordan của A thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_2 là con số những khối Jordan có số chiều http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n_3 là con số những khối Jordan có số chiều http://dientuvietnam...cgi?a_1,a_2,... ta có thể viết ra chính xác dạng Jordan của A vì http://dientuvietnam..._3=a_3-a_2,....

Ta minh họa phương pháp này bằng cách giải lại VD1.
Vì http://dientuvietnam...ex.cgi?rank(A^2)=rank(A^3) nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2=a_3. Do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_3=a_3-a_2=0 nghĩa là không có khối Jordan nào của A có số chiều http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A^2=0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 19-08-2006 - 22:09

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

Trở lên trên

#4 lnnh12284

Lính mới

Thành viên
2 Bài viết

Đã gửi 06-09-2006 - 02:34

Mình cũng đang đọc về lý thuyết ma trận chủ yếu là để phục vụ cho ngành của mình thôi.Có một số thắc mắc như thế này mong các tiền bối chỉ giúp:
1.Muốn hiểu được các kiến thức về ma trận ngẫu nhiên thì cần có các kiến thức toán nào?
2.Bậc tiền bối nào có thể giải thích một cách dễ hiểu các khái niệm thông thường đối với ma trận ngẫu nhiên như: phép biến đổi Gauss(không biết là có không nhỉ?),định thức ,trị riêng,vecto riêng, đa thức đặc trưng ,đa thức tối thiểu,các dạng chuẩn . . .
Quả thật,mình đọc thử một cuốn sách viết về ma trận ngẫu nhiên,nhưng không thể hiểu một chút nào.Mình chỉ là dân kĩ thuật quèn thôi.Mong mọi người giúp đỡ.