Chủ đề này có 5 trả lời

[letuananh29072000]

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

2. $\int_{1}^{+\infty }\frac{lnx}{2+\sqrt[3]{x^{5}}}dx$

3. $\int_{0}^{1}\frac{sin(\pi x).ln(x-1)}{\sqrt{(x-1)^{3}}}$

 

Mọi người cho e xin phương pháp hay tài liệu giải các dạng này với ạ. E thực sự rất cần !

[An Infinitesimal]

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

2. $\int_{1}^{+\infty }\frac{lnx}{2+\sqrt[3]{x^{5}}}dx$

3. $\int_{0}^{1}\frac{sin(\pi x).ln(x-1)}{\sqrt{(x-1)^{3}}}$

 

Mọi người cho e xin phương pháp hay tài liệu giải các dạng này với ạ. E thực sự rất cần !

 

Dùng tiêu chuẩn so sánh "dạng giới hạn" thôi!

 

Bài 3 sai!

[letuananh29072000]

Dùng tiêu chuẩn so sánh "dạng giới hạn" thôi!

 

Bài 3 sai!

em không biết được nên so sánh với một hàm số nào, anh có thể giải 1 bài và chỉ em cách chọn g(x) được ko ạ

[An Infinitesimal]

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

 

[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]

 

TPSR tại $0$.

 

Chú ý phân tích các số hạng mà tử và mẫu bằng 0 hoặc tiến về 0, tiến về  $\infty$ khi $x\to 0.$

(Khi các số hạng mà hàm số xác định tại 0 hoặc giới hạn của "số hạng đó" khi $x\to 0$ là một số thực hữu hạn thì loại chúng khỏi "hàm" g. )

Ta sẽ tạm ký hiệu $f\sim g$ nếu $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ là một số thực khác 0 nào đó.

 

Khi đó, $\sqrt[5]{x^2+x^5} \sim x^{2/5}\ln x$, và $x(2-x) \sim x.$ 

 

Xét $f(x)= \frac{\sqrt[5]{x^2+x^5}\ln x}{x(2-x)}$

Chính vì thế ta chọn hàm $g(x):= \frac{x^{2/5}\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x^{3/5}}.$

 

Đến đây, ta có thể có làm theo một trong hai hướng khác nhau để tìm ra lời giải.

 

Lời giải 1 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|= \frac{1}{2}\neq 0.$

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, các TPSR $\int_0^1 |f(x)|dx$ và  $\int_0^1 |g(x)|dx$ cùng tích chất hội tụ. Do đó, nếu $\int_0^1 |g(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

 

Đến đây, dùng tích phân từng phần, dùng quy tắc l'Hospital, ta có thể kiểm chỉ ra $\int_0^1 x^{-3/5}\ln xdx$ hội tụ.

 

Lời giải 2 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Hàm $g$ vẫn chưa đơn giản. Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.

 

Như vậy, ta sẽ cố tình 'đa thức hóa' một cách triệt để (thật ra là 'lũy thừa hóa').

Vì thế ta có thể chọn $h(x)= \frac{1}{x^{3/5+\alpha}}.$ Ngoài ra, ta mong muốn áp dụng được thì chọn $\alpha>0$ sao cho $3/5+\alpha<1$. Thí dụ chọn $\alpha=\frac{1}{5}.$

 

Vì thế, khi chọn $h(x)= \frac{1}{x^{4/5}},$ ta có

i) Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{h(x)}\right|=0.$

 

ii) $\int_0^1 h(x)dx$ hội tụ.

 

 

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn,  nếu $\int_0^1 |h(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Suy ra $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

 

Em thử áp dụng để giải bài 2!

 

 

 

 

 

[An Infinitesimal]

[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]

Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.

 

Khi $x\to 0^{+}.$

[letuananh29072000]

Em cảm ơn anh rất nhiều !