Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Concours SMF Junior 2018

olympic smf sinh viên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Algebraic invariant theory, Algebraic topology, Analytic number theory

Đã gửi 11-12-2018 - 03:06

Concours SMF Junior là cuộc thi do Hội Toán học Pháp (Société Mathématique de France) tổ chức, với đối tượng hướng đến là những người đang học ở trình độ Master 1 ngành Toán của tất cả các trường đại học ở Pháp. 2018 là năm thứ hai cuộc thi được tổ chức. Hình thức thi như sau: Thi theo đội, mỗi đội tối đa 3 người. Trong một tuần (năm 2018 vừa qua là tuần nghỉ lễ Toussaint ở Pháp), đề thi được công bố online và các đội nộp mỗi bài giải cho từng bài toán. Có tất cả 10 bài toán thuộc 10 lĩnh vực khác nhau: Đại số, Giải tích, Tổ hợp - Mật mã, Hình học, Mô hình, Xác suất, Hệ động lực, Lý thuyết độ đo, Lý thuyết số, Tô-pô.

Dưới đấy là đề thi đã được dịch, mình đã đính kèm đề thi gốc bằng tiếng Pháp.

Bài 1. Với $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, ta ký hiệu $$\Gamma_f = \{(x,f(x)), \, x \in [0,1]\} \subset \mathbb{R}^2$$ là đồ thị của nó. Gọi $C \subset \mathbb{R}^2$ là bông tuyết Von Koch. Có tồn tại hay không một dãy các hàm liên tục $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, với $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ và một dãy $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ các phép đẳng cự của mặt phẳng sao cho $$C \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}}T_n(\Gamma_{f_n}) ?$$

Bài 2. Chứng minh rằng với $p,q,r$ là ba số nguyên tố phân biệt tùy ý, phương trình $$x^p + y^q = z^r$$ có nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$.

Bài 3. Đầu tiên, bài toán này giới thiệu về hệ động lực độ đo, định lý ergodic Birkhoff, martingale và định lý hội tụ Doob.
Cho $(X,\mathcal{B}, \mu)$ là một không gian xác suất và $T: X \to X$ là một ánh xạ đo được và bảo toàn độ đo. Gọi $\mathcal{J}$ là $\sigma$-đại số con của $\mathcal{B}$ gồm các tập $T$-bất biến, nghĩa là $A \in \mathcal{J} \iff T^{-1}(A) = A$.
Giả sử $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy giảm các số thực trong $[0,1]$ sao cho $\sum_{n \in \mathbb{N}} p_n = \infty$ và $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập với $(X,\mathcal{B}, \mu)$ sao cho với mỗi $n \in \mathbb{N}$, $\xi_n$ tuân theo luật Bernoulli với tham số $p_n$ (nghĩa là $\mathbb{P}(\xi_n = 1) = p_n = 1 - \mathbb{P}(\xi_n = 0)$. Xét tập hợp ngẫu nhiên $\chi = \{n \in \mathbb{N}: \xi_n = 1\}$.

1. Với $c > 0$, khảo sát sự hội tụ của chuỗi $$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{p_n}{(p_1 + \cdots + p_n)^c}.$$
2. Chứng minh rằng, với mọi hàm bình phương khả tích $f: X \to \mathbb{R}$, hầu như chắc chắn rằng, với $\mu$-hầu như tất cả $x$, $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{|\chi \cap [1,N]|} \sum_{n \in \chi \cap [1,N]} f(T^n x) = \mathbb{E}(f | \mathcal{J}),$$ và giới hạn này đúng cả theo nghĩa $L^2(\mu)$.

Bài 4. Pedro và Dilma chơi một trò chơi như sau trên đĩa đóng đơn vị $B$ của $\mathbb{R}^2$ (theo mê-tríc Euclid). Pedro bắt đầu bằng việc vẽ một điểm $P_1 \in B$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_1$ đi qua $P_1$. Sau đó, Pedro vẽ một điểm $P_2 \in B \cap D_1$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_2$ đi qua $P_2$. Tiếp tục như vậy, ta được dãy điểm $(P_n)_{n \ge 1}$ và dãy đường thẳng $(D_n)_{n \ge 1}$. Nếu dãy $(P_n)_{n \ge 1}$ hội tụ, Dilma là người thắng. Ngược lại, Pedro là người thắng. Có ai trong hai người chơi có chiến thuật để thắng hay không? Nếu có, ai?

Bài 5. Cho $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ là một không gian xác suất. Một du động ngẫu nhiên trên $\mathbb{Z}$ là một dãy biến ngẫu nhiên $S = (S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ trong đó $S_0 = 0$ và $$S_n = X_1 + \cdots + X_n$$ với $(X_i)_{i \ge 1}$ là một dãy biến ngẫu nhiên với giá trị nguyên, độc lập và cùng luật, định nghĩa trên $(\Omega, \mathcal{F})$. Du động ngẫu nhiên được gọi là đối xứng nếu với mọi $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n)$.
Có thể chứng minh được rằng, với mọi du động ngẫu nhiên,
- hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên đi qua $0$ vô hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là recurrent)
- hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên chỉ đi qua mỗi điểm của $\mathbb{Z}$ một số hữu hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là transient).
Chúng ta thừa nhân một tiêu chuẩn giải tích của Chung và Fuchs về tính recurrent/transient của một du động ngẫu nhiên, dựa vào luật của $X_1$: $$\text{S là transient} \iff \Re\left(\int_0^1\frac{dy}{1 - \mathbb{E}[e^{iyX_1}]} \right) < +\infty.$$
Khi du động ngẫu nhiên là đối xứng, tiêu chuẩn trên trở thành: $$\text{S là transient} \iff \int_0^1 \left(\sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X_1 = n)(1 - \cos (yn)) \right)^{-1} < +\infty.$$
1. Giả sử $X_1$ có kỳ vọng. Chứng minh rằng $S$ là recurrent khi và chỉ khi $\mathbb{E} X_1 = 0$.
2. Giả sử $\alpha, c$ là các số dương sao cho khi $n \to +\infty$, ta có $$\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n) \sim \frac{c}{n^{1 + \alpha}}.$$ Với giá trị nào của $\alpha$ thì $S$ là recurrent?
3. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên transient $S$ và $S'$ độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent? Trong trường hợp $S$ và $S'$ là đối xứng, liệu có tồn tại hay không?
4. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên recurrent $S$ và $S'$, đối xứng, độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent?

Bài 6. Xét một giọt mực hình cầu (trong 2 chiều: hình tròn) ngâm trong một chất lỏng. Chất lỏng đang chuyển động với vận tốc đã biết: Trường vân tốc là trường dừng (không phụ thuộc vào thời gian) và chính quy (không suy biến) theo biến không gian. Giả sử chất lỏng được chứa trong một vật chứa bị chặn và vận tốc của chất lỏng trên (thành của) vật chứa này bằng 0. Chất lỏng di chuyển và làm biến dạng giọt mực (bỏ qua sự khuếch tán và trọng lực). Mục tiêu của bài toán này là mô tả định tính và định lượng các đặc điểm của giọt mực theo thời gian.
1. Chứng minh rằng giọt mực không bao giờ chạm vào (thành của) vật chứa.
2. Tính liên thông của giọt mực có được bảo toàn theo thời gian không? Tính đơn liên thì sao?
3. Thể tích (trong 2 chiều: diện tích) của giọt mực thay đổi theo thời gian như thế nào?
4. Tìm một trường vân tốc sao cho giọt mực mất tính lồi sau một thời gian nhất định.
5. Chứng minh rằng, trong hai chiều, giọt mực giữ được tính lồi trong một khoảng thời gian đủ nhỏ. Xác định thời điểm giọt mực bắt đầu mất tính lồi như một hàm của trường vận tốc.
6. Tính com-pắc, tính trơn của biên, ... được bảo toàn bởi trường vân tốc. Tìm một (vài) trường vận tốc sao cho khi thời gian đủ dài, giọt mực hội tụ đến một hình dạng mà không còn một (vài) tính chất như trên nữa.

Bài 7. Tồn tại hay không một độ đo xác suất trên mặt phẳng sao cho: Nếu chọn ba điểm trên mặt phẳng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau, xác suất để ta thu được một tam giác nhọn là lớn hơn $\frac{1}{2}$.

Bài 8. Một đa thức bậc $P$ với bậc $n$ được gọi là phản đối xứng nếu $P(-X) = X^n P(\tfrac{1}{X})$. Chứng minh rằng, một đa thức phản đối xứng với hệ số nguyên lẻ không thể có nghiệm trên đường tròn đơn vị của $\mathbb{C}$.

Bài 9. Cho $A$ là một tập hợp hữu hạn. Một từ hữu hạn trên bảng chữ cái $A$ là một dãy $u = (u_n)_{1 \le n \le \ell}$ các phần tử của $A$, mà ta sẽ viết đơn giản là $u = u_1\ldots u_{\ell}$. Số nguyên $\ell$ được gọi là độ dài của $u$, ký hiệu bởi $|u|$. Một từ vô hạn trên $A$ là một dãy $\mathbf{a} = (a_n)_{n \ge 1}$ các phần tử của $A$. Một từ hữu hạn $u$ là một từ con của một từ (hữu hạn hặc vô hạn) $v$ nếu tồn tại số nguyên $j$ sao cho $u = v_j \ldots v_{j + |u|-1}$.
Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là có độ hụt bị chặn nếu với mọi từ con $u$ của $\mathbf{a}$, tồn tại số nguyên $\ell$ sao cho mọi từ con $v$ của $\mathbf{a}$ với độ dài $\ell$ đều chứa $u$ như một từ con.
Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là một $T$-từ nếu nó thỏa mãn tính chất sau đây. $$\forall n \in \mathbb{N}, \exists p \in \mathbb{N} - \{0\},\forall k \in \mathbb{N}, a_{n + kp} = a_n.$$
Cho $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là hai từ vô hạn lần lượt trên các bảng chữ cái $A$ và $B$. Tích $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ của chúng được định nghĩa là từ $\mathbf{c} = (c_n)_{n \ge 1}$ trên bảng chữ cái $A \times B$ với $c_n = (a_n,b_n)$.
1. Chứng minh rằng mọi $T$-từ đều có độ hụt bị chặn.
2. Cho $\mathbf{d} = (d_n)_{n \ge 1}$ là từ vô hạn được cho bởi $$d_n = \begin{cases} 1, & \text{nếu } s_2(n) \neq s_2(n+1) \pmod 2 \\ 0, & \text{nếu ngược lại}\end{cases}$$ với $s_2(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong biểu diễn nhị phân. Chứng minh rằng $\mathbf{d}$ là một $T$-từ.
3. Chứng minh rằng nếu $\mathbf{a}$ là một $T$-từ trên $A$ và $\mathbf{b}$ là một từ vô hạn có độ hụt bị chặn trên $B$ thì $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ là có độ hụt bị chặn.

Bài 10. Tồn tại hay không một bộ hữu hạn các điểm được tô màu đen và trắng trên mặt phẳng thỏa mãn cả hai tính chất sau đây hay không?
1. Với mọi điểm đen, có đúng 10 điểm trắng cách nó 1 đơn vị độ dài.
2. Số điểm đen nhiều hơn số điểm trắng.

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-12-2018 - 16:51

$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#2 HVU

HVU

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết

Đã gửi 13-02-2019 - 20:15

Bai 7:

Giai the nay duoc khong

 

Ben trong hinh tron la khoang mat phang ma tam giac (ABC) tu tai C

Ben ngoai hai duong song song la khoang mat phang ma tam giac (ABC) tu tai A hoac B

 

Nhu vay phan dien tich cua vung mat phang ma tam giac (ABC) tu tren dien tich ca mat phang se luon lon hon hoac bang 1/2

Nhu vay sac xuat de duoc mot tam giac nhon la nho hon 1/2

Hình gửi kèm

  • geogebra-export7.png


#3 nmlinh16

nmlinh16

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Algebraic invariant theory, Algebraic topology, Analytic number theory

Đã gửi 16-02-2019 - 03:42

Bai 7:

Giai the nay duoc khong

 

Ben trong hinh tron la khoang mat phang ma tam giac (ABC) tu tai C

Ben ngoai hai duong song song la khoang mat phang ma tam giac (ABC) tu tai A hoac B

 

Nhu vay phan dien tich cua vung mat phang ma tam giac (ABC) tu tren dien tich ca mat phang se luon lon hon hoac bang 1/2

Nhu vay sac xuat de duoc mot tam giac nhon la nho hon 1/2

 

Bạn hiểu sai đề rồi. Đề hỏi là có thể tìm được một độ đo xác suất trên R^2, tức là độ đo này không nhất thiết phải là diện tích (độ đo Lebesgue) thông thường., thỏa mãn tính chất đã cho hay không. https://en.wikipedia...obability_space


$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic, smf, sinh viên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh