Đến nội dung

Hình ảnh

$3x^2+2y^2+z^2$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
batigoal

batigoal

    Hướng dẫn viên $\LaTeX$

  • Thành viên
  • 261 Bài viết

Cho $0<x< y \le z\le 1$ và $3x+2y+z\le 4.$ Tìm max $$P=3x^2+2y^2+z^2.$$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\lceil$ Abel ' s summation ! ( Khai triển Abel ) $\rfloor$

( Abel ' s formula )

Với các số ${a}_{\,i},\,{a}_{\,2},\,...,\,{a}_{\,n}$ $,\,{b}_{\,1},\,{b}_{\,2},\,...,\,{b}_{\,n}$ thì :

$\sum\limits_{i\,=\, 1}^{n}\,{a}_{\,i}{b}_{\,i}=$ $\left ( {a}_{\,1}- {a}_{\,2} \right ){b}_{\,1}+$ $\left ( {a}_{\,2}- {a}_{\,3} \right )\left ( {b}_{\,1}+ {b}_{\,2} \right )+$ $\left ( {a}_{\,3}- {a}_{\,4} \right )\left ( {b}_{\,1}+ {b}_{\,2}+ {b}_{\,3} \right )+ \,...\,+$ $\left ( {a}_{\,n- 1}- {a}_{\,n} \right )\left ( \sum\limits_{i\,=\, 1}^{n- 1}\,{b}_{\,i} \right )+$ ${a}_{\,n}\left ( \sum\limits_{i\,=\, 1}^{n}\,{b}_{\,i} \right )$

Áp dụng cho trường hợp $n= 3$ , ta được: 

$\text{P}= z\,z+ 2\,y\,y+ 3\,x\,x= z\left ( z- y \right )+ \left ( z+ 2\,y \right )\left ( y- x \right )+ x\left ( x+ 2\,y+ 3\,z \right )\leqq \left ( z- y \right )+ \left ( 1+ 2 \right )\left ( y- x \right )+ 4\,x=$

$= z+ 2\,y+ x= \frac{1}{3}\left ( 3\,z+ 2\,.\,3\,y+ 3\,x \right )=$ $\frac{1}{3}\left [ z\left ( 3- 3 \right )+ \left ( z+ 2\,y \right )\left ( 3- 1 \right )+ z+ 2\,y+ 3\,x \right ]\leqq$ $\frac{1}{3}\left [ 2\left ( z+ 2\,y \right )+ 4 \right ]\leqq$ $\frac{10}{3}$

 

 



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\lceil$ Abel ' s summation ! ( Khai triển Abel ) $\rfloor$

( Abel ' s formula )

Với các số ${a}_{\,i},\,{a}_{\,2},\,...,\,{a}_{\,n}$ $,\,{b}_{\,1},\,{b}_{\,2},\,...,\,{b}_{\,n}$ thì :

$\sum\limits_{i\,=\, 1}^{n}\,{a}_{\,i}{b}_{\,i}=$ $\left ( {a}_{\,1}- {a}_{\,2} \right ){b}_{\,1}+$ $\left ( {a}_{\,2}- {a}_{\,3} \right )\left ( {b}_{\,1}+ {b}_{\,2} \right )+$ $\left ( {a}_{\,3}- {a}_{\,4} \right )\left ( {b}_{\,1}+ {b}_{\,2}+ {b}_{\,3} \right )+ \,...\,+$ $\left ( {a}_{\,n- 1}- {a}_{\,n} \right )\left ( \sum\limits_{i\,=\, 1}^{n- 1}\,{b}_{\,i} \right )+$ ${a}_{\,n}\left ( \sum\limits_{i\,=\, 1}^{n}\,{b}_{\,i} \right )$

Áp dụng cho trường hợp $n= 3$ , ta được: 

$\text{P}= z\,z+ 2\,y\,y+ 3\,x\,x= z\left ( z- y \right )+ \left ( z+ 2\,y \right )\left ( y- x \right )+ x\left ( x+ 2\,y+ 3\,z \right )\leqq \left ( z- y \right )+ \left ( 1+ 2 \right )\left ( y- x \right )+ 4\,x=$

$= z+ 2\,y+ x= \frac{1}{3}\left ( 3\,z+ 2\,.\,3\,y+ 3\,x \right )=$ $\frac{1}{3}\left [ z\left ( 3- 3 \right )+ \left ( z+ 2\,y \right )\left ( 3- 1 \right )+ z+ 2\,y+ 3\,x \right ]\leqq$ $\frac{1}{3}\left [ 2\left ( z+ 2\,y \right )+ 4 \right ]\leqq$ $\frac{10}{3}$

Ta có : $\left\{\begin{matrix} 0 & < & x & \leqq & y & \leqq & z & \leqq & 1\\ 3\,x & + & 2\,y & + & z & \leqq & 4 \end{matrix}\right.\,\,\Rightarrow \,\,\frac{1}{3}\leqq x\leqq y\leqq z\leqq 1$ . Do đó :

$100\left ( 3\,x+ 2\,y+ z \right )^{\,2}- 480\left ( 3\,x^{\,2}+ 2\,y^{\,2}+ z^{\,2} \right )= $

$= 180\left ( 3\,y- x \right )\left ( 3\,x- 1 \right )y+ 540\left ( 3\,y- x \right )\left ( 1- y \right )x+ 40\left ( z- y \right )^{\,2}+ 240\left ( 3\,z- 5\,x \right )\left ( z- y \right )= $

$= 3\left ( 5\,x- 3\,z \right )\left ( 68\,y+ 7\,z- 45\,x \right )+ 4\left ( z- y \right )\left ( 155\,y- 83\,z \right )+ 15\left ( z+ 3\,x+ 2\,y \right )^{\,2}\geqq $

$\geqq 0$

với mọi $3\,z- 5\,z$ .



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Ta có : $\left\{\begin{matrix} 0 & < & x & \leqq & y & \leqq & z & \leqq & 1\\ 3\,x & + & 2\,y & + & z & \leqq & 4 \end{matrix}\right.\,\,\Rightarrow \,\,\frac{1}{3}\leqq x\leqq y\leqq z\leqq 1$ . Do đó :

$100\left ( 3\,x+ 2\,y+ z \right )^{\,2}- 480\left ( 3\,x^{\,2}+ 2\,y^{\,2}+ z^{\,2} \right )= $

$= 180\left ( 3\,y- x \right )\left ( 3\,x- 1 \right )y+ 540\left ( 3\,y- x \right )\left ( 1- y \right )x+ 40\left ( z- y \right )^{\,2}+ 240\left ( 3\,z- 5\,x \right )\left ( z- y \right )= $

$= 3\left ( 5\,x- 3\,z \right )\left ( 68\,y+ 7\,z- 45\,x \right )+ 4\left ( z- y \right )\left ( 155\,y- 83\,z \right )+ 15\left ( z+ 3\,x+ 2\,y \right )^{\,2}\geqq $

$\geqq 0$

với mọi $3\,z- 5\,z$ .

Viết lại dưới dạng dao lam$,$ trên$.$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh