Chủ đề này có 1 trả lời

[Toanhochoctoan]

$2^x=\sqrt{x}+1$

[chanhquocnghiem]

$2^x=\sqrt{x}+1$

Điều kiện để 2 vế xác định : $x\geqslant 0$

$2^x=\sqrt{x}+1\Leftrightarrow 2^x-\sqrt{x}=1$  $(\ast )$

Đặt $f(x)=2^x$ ; $g(x)=\sqrt{x}$ ; $h(x)=f(x)-g(x)=2^x-\sqrt{x}$

$\Rightarrow f'(x)=2^x.\ln 2$ ; $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $h'(x)=f'(x)-g'(x)=2^x.\ln 2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Trên khoảng $(0;+\infty)$, $f'(x)$ tăng đơn điệu từ $\ln 2$ đến $+\infty$

                                          $g'(x)$ giảm đơn điệu từ $+\infty$ đến $0$

$\Rightarrow$ tồn tại duy nhất số $x_0> 0$ sao cho $h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ và $\left\{\begin{matrix}h'(x)< 0,\forall x\in(0;x_0)\\h'(x)> 0,\forall x\in(x_0;+\infty) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\ast )$ có không quá $2$ nghiệm thực.

Dễ thấy $2$ nghiệm đó là $x_1=0$ và $x_2=1$.