Sử dụng phép thế Ravi , vì vậy đặt : $\left\{\begin{matrix} a & = & \frac{{x}_{\,1}+ {x}_{\,2}+ {x}_{\,3}- {x}_{\,4}}{2}\\ \\ b & = & \frac{{x}_{\,2}+ {x}_{\,3}+ {x}_{\,4}- {x}_{\,1}}{2}\\ \\ c & = & \frac{{x}_{\,3}+ {x}_{\,4}+ {x}_{\,1}- {x}_{\,2}}{2}\\ \\ d & = & \frac{{x}_{\,4}+ {x}_{\,1}+ {x}_{\,2}- {x}_{\,3}}{2} \end{matrix}\right.$ với $x_{\,1,\,2,\,3,\,4}> 0$ . Ta có:
Nếu viết lại bất đẳng thức trên theo kiểu $\mathit{3}\,\mathit{u}= \mathit{a}+ \mathit{b}+ \mathit{c},\,\mathit{3}\,\mathit{v}^{\,\mathit{2}}= \mathit{ab}+ \mathit{bc}+ \mathit{ca},\,\mathit{w}^{\,\mathit{3}}= abc$ , hiển nhiên trong chứng minh uvw thì thường dùng nhiều $\mathit{u}> \mathit{v}> \mathit{w}$ , do đó hệ số của $\mathit{abc}$ luôn âm , bài toán này bị ngược dấu !
Spoiler
Ta có : ${\mathit{F}}'\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right )$ giảm nên giá trị của $\mathit{F}\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right ) \min$ khi $\mathit{w}^{\,\mathit{3}}$ đạt cực đại ( với $\mathit{F}$ là hàm số tuyến tính ) , trong trường hợp này hai biến bằng nhau : $\lceil$ https://math.stackex...m/tags/uvw/info $\rfloor$
Do bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát , giả sử $\mathit{b}= \mathit{c}= 1$ . Khi đó :
Sử dụng phép thế Ravi , vì vậy đặt : $\left\{\begin{matrix} a & = & \frac{{x}_{\,1}+ {x}_{\,2}+ {x}_{\,3}- {x}_{\,4}}{2}\\ \\ b & = & \frac{{x}_{\,2}+ {x}_{\,3}+ {x}_{\,4}- {x}_{\,1}}{2}\\ \\ c & = & \frac{{x}_{\,3}+ {x}_{\,4}+ {x}_{\,1}- {x}_{\,2}}{2}\\ \\ d & = & \frac{{x}_{\,4}+ {x}_{\,1}+ {x}_{\,2}- {x}_{\,3}}{2} \end{matrix}\right.$ với $x_{\,1,\,2,\,3,\,4}> 0$ . Ta có:
Nếu viết lại bất đẳng thức trên theo kiểu $\mathit{3}\,\mathit{u}= \mathit{a}+ \mathit{b}+ \mathit{c},\,\mathit{3}\,\mathit{v}^{\,\mathit{2}}= \mathit{ab}+ \mathit{bc}+ \mathit{ca},\,\mathit{w}^{\,\mathit{3}}= abc$ , hiển nhiên trong chứng minh uvw thì thường dùng nhiều $\mathit{u}> \mathit{v}> \mathit{w}$ , do đó hệ số của $\mathit{abc}$ luôn âm , bài toán này bị ngược dấu !
Spoiler
Ta có : ${\mathit{F}}'\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right )$ giảm nên giá trị của $\mathit{F}\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right ) \min$ khi $\mathit{w}^{\,\mathit{3}}$ đạt cực đại ( với $\mathit{F}$ là hàm số tuyến tính ) , trong trường hợp này hai biến bằng nhau : $\lceil$ https://math.stackex...m/tags/uvw/info $\rfloor$
Do bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát , giả sử $\mathit{b}= \mathit{c}= 1$ . Khi đó :
Nếu viết lại bất đẳng thức trên theo kiểu $\mathit{3}\,\mathit{u}= \mathit{a}+ \mathit{b}+ \mathit{c},\,\mathit{3}\,\mathit{v}^{\,\mathit{2}}= \mathit{ab}+ \mathit{bc}+ \mathit{ca},\,\mathit{w}^{\,\mathit{3}}= abc$ , hiển nhiên trong chứng minh uvw thì thường dùng nhiều $\mathit{u}> \mathit{v}> \mathit{w}$ , do đó hệ số của $\mathit{abc}$ luôn âm , bài toán này bị ngược dấu !
Spoiler
Ta có : ${\mathit{F}}'\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right )$ giảm nên giá trị của $\mathit{F}\left ( \mathit{w}^{\,\mathit{3}} \right ) \min$ khi $\mathit{w}^{\,\mathit{3}}$ đạt cực đại ( với $\mathit{F}$ là hàm số tuyến tính ) , trong trường hợp này hai biến bằng nhau : $\lceil$ https://math.stackex...m/tags/uvw/info $\rfloor$
Do bất đẳng thức thuần nhất nên không mất tính tổng quát , giả sử $\mathit{b}= \mathit{c}= 1$ . Khi đó :
Với $\it{3}\,\it{u}= \it{x}+ \it{y}+ \it{z},\,\it{3}\,\it{v}^{\,\it{2}}= \it{xy}+ \it{yz}+ \it{zx},\,\it{w}^{\,\it{3}}= \it{xyz}$ (đặt như vậy thì ta dễ suy ra dấu đẳng thức với $\it{x}= \it{y}= \it{z}\Rightarrow \it{u}= \it{v}= \it{w}$).
Ta có các định lý cơ bản của đa thức đối xứng $\it{3}$ biến:
" Mọi đa thức đối xứng $\it{3}$ biến $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các biến $\it{u},\,\it{v}^{\,\it{2}},\,\it{w}^{\,\it{3}}$ "
Vậy thì ta có thể khai triển bất kì đa thức đối xứng thuần bậc, chẳng hạn $\it{f}_{\,\it{m}}\left ( \it{x},\,\it{y},\,\it{z} \right )$ bậc $\it{m}$ thì biểu diễn được: (đây là một mệnh đề)
[với $\it{d}_{\,\it{n}}= \text{const}$ $\lceil$ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT! $\rfloor$]
Gợi ý về việc phân tích đa thức đối xứng $\left ( \it{x}- \it{y} \right )^{\,\it{2}}\left ( \it{y}- \it{z} \right )^{\,\it{2}}\left ( \it{z}- \it{x} \right )^{\,\it{2}}$ bậc $\it{6}$ nên có dạng $\it{f}_{\,\it{6}}\left ( \it{x},\,\it{y},\,\it{z} \right )= \it{d}_{\,\it{1}}\,\it{u}^{\,\it{6}}+ \it{d}_{\,\it{2}}\,\it{u}^{\,\it{4}}\it{v}^{\,\it{2}}+ \it{d}_{\,\it{3}}\,\it{u}^{\,\it{2}}v^{\,\it{4}}+ \it{d}_{\,\it{4}}\,\it{v}^{\,\it{6}}+ \it{d}_{\,\it{5}}\,\it{uv}^{\,\it{2}}\it{w}^{\,\it{3}}+ \it{d}_{\,\it{6}}\,\it{w}^{\,\it{6}}+ \it{d}_{\,\it{7}}\,\it{u}^{\,\it{3}}\it{w}^{\,\it{3}}$
Bậc cao nhất của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ chỉ là $\it{4}$ nên $\it{d}_{\,\it{1}}= \it{d}_{\,\it{2}}= \it{0}$ (bậc của $\max\left \{ \deg\,\it{x},\,\deg\,\it{y},\,\deg\,\it{z} \right \}= \left \{ \it{6},\,\it{5} \right \}$). Ta sẽ giải $\it{5}$ ẩn $\it{d}_{\,\it{i}}\,\,\left ( \it{i}= \overline{\it{3},\,\it{7}} \right )$, thay $\left ( \it{x},\,\it{y},\,\it{z} \right )= \left ( \it{0},\,-\,\it{1},\,\it{0} \right ),\,\left ( \it{0},\,-\,\it{1},\,-\,\it{1} \right ),\,\left ( \it{0},\,-\,\it{1},\,\it{1} \right ),\,\left ( \it{1},\,-\,\it{1},\,\it{0} \right ),\,\left ( \it{1},\,-\,\it{1},\,\it{1} \right )$.
Ta được một hệ phương trình $\it{5}$ ẩn (Hệ phương trình tuyến tính: $\lceil$ https://vi.wikipedia...rình_tuyến_tính $\rfloor$), sau khi giải ra ta được:
