Chủ đề này có 1 trả lời

[toanhoc2017]

Cho x,y,z dương hãy chứng minh $\sum\frac{xy}{z(z+x)}\geq\sum\frac{x}{z+x}$
Bài này ở diễn đàn học mãi 2 tháng chưa có đáp án

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 15-12-2018 - 16:57

[tritanngo99]

Cho x,y,z dương hãy chứng minh $\sum\frac{xy}{z(z+x)}\geq\sum\frac{x}{z+x}$
Bài này ở diễn đàn học mãi 2 tháng chưa có đáp án

Ta có: $\sum \frac{xy}{z(z+x)}\ge \sum \frac{x}{z+x}$.

$\iff \sum\frac{x}{z+x}(\frac{y}{z}-1)\ge 0$.

$\iff \sum \frac{1}{\frac{z}{x}+1}(\frac{y}{z}-1)\ge 0(1)$

Đặt $(a;b;c)=(\frac{z}{x};\frac{y}{z};\frac{x}{y})\implies abc=1(a,b,c>0)$.

Và $(1)\iff \frac{b-1}{a+1}+\frac{a-1}{c+1}+\frac{c-1}{b+1}\ge 0$.

Ta quy về bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{b-1}{a+1}+\frac{a-1}{c+1}+\frac{c-1}{b+1}\ge 0$

Thật vậy: Ta có $DPCM\iff \sum (b-1)(c+1)(b+1)\ge 0\iff \sum b^2c+(b-1)^2+b-2\ge 0$.

Áp dụng BDT Cô-si cho ba số dương ta được:

$\sum b^2c\ge 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3$.

$\sum b\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$.

Vì vậy ta có: $\sum \frac{b-1}{a+1}\ge 0\iff 3+3-6\ge 0$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1\iff x=y=z$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-12-2018 - 14:17