Chủ đề này có 2 trả lời

[toanhoc2017]

Cho x,y,z dương và xyz=1 .Chứng minh $(x+y)(y+z)(x+z)\geq(x+1)(y+1)(z+1)$

[tritanngo99]

Cho x,y,z dương và xyz=1 .Chứng minh $(x+y)(y+z)(x+z)\geq(x+1)(y+1)(z+1)$

Đặt $(p;q;r)=(a+b+c;ab+bc+ca;abc)$.

Theo đề: $abc=1\implies r=1$.

Khi đó ta có: $(x+y)(y+z)(z+x)\ge (x+1)(y+1)(z+1)$.

$\iff pq-z\ge p+q+z+1$.

$\iff pq\ge p+q+2z+1\iff pq\ge p+q+3$.

$\iff (p-1)(q-1)\ge 4$.

Bây giờ ta đi chứng minh $(p-1)(q-1)\ge 4\iff (p-1)(q-1)-4\ge 0$.

Thật vậy:

Áp dụng BDT Cô-si ta dễ dàng chứng minh được: $p\ge 3;q\ge 3$.

Lại có: $q^2\ge 3pr\iff (ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)\iff \frac{1}{2}\sum (ab-bc)^2\ge 0$.(TRUE).

$\implies q\ge \sqrt{3p}$

Nên $VT=(p-1)(q-1)-4\ge (p-1)(\sqrt{3p}-1)-4=\sqrt{3}(\sqrt{p})^3-p-\sqrt{3p}-3=(\sqrt{p}-\sqrt{3})(\sqrt{3}p+2\sqrt{p}+\sqrt{3})$.

Do $p\ge 3\implies \sqrt{p}\ge \sqrt{3};\sqrt{3}p+2\sqrt{p}+\sqrt{3}>0\implies VT\ge 0=VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

[DOTOANNANG]

Bất đẳng thức mạnh hơn : $\lceil$ https://diendantoanh...ng/#entry718162 $\rfloor$