Chủ đề này có 2 trả lời

[nhuleynguyen]

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 16-12-2018 - 11:13

[vmf999]

https://diendantoanh...11-yzfrac11-xz/

[DOTOANNANG]

Viết bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất, ta cần phải chứng minh:

$$\frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{xy}}+ \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{yz}}+ \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{zx}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{2}}$$

Với  $\it{3}\,\it{u}= \it{x}+ \it{y}+ \it{z},\,\it{3}\,\it{v}^{\,\it{2}}= \it{xy}+ \it{yz}+ \it{zx},\,\it{w}^{\,\it{3}}= \it{xyz}$  thì:

$\it{f}\left ( \it{w}^{\,\it{3}} \right )= \it{9}\left ( \it{243}\,\it{u}^{\,\it{6}}- \it{621}\,\it{u}^{\,\it{4}}\it{v}^{\,\it{2}}+ \it{21}\,\it{u}^{\,\it{3}}\it{w}^{\,\it{3}}+ \it{504}\,\it{u}^{\,\it{2}}\it{w}^{\,\it{4}}- \it{14}\,\it{uv}^{\,\it{2}}\it{w}^{\,\it{3}}- \it{132}\,\it{v}^{\,\it{6}}- \it{w}^{\,\it{6}} \right )\geqq \it{0}$  nhưng:

${\it{f}}'\left ( \it{w}^{\,\it{3}} \right )= \it{9}\left ( \it{21}\,\it{u}^{\,\it{3}}- \it{14}\,\it{uv}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{w}^{\,\it{3}} \right )\geqq \it{0}$ , nên $\it{f}$  là hàm lồi, ta cần chứng minh bất đẳng thức trên với giá trị cực đại của  $\it{w}^{\,\it{3}}$  theo  $\it{2}$  trường hợp sau:

$\it{w}^{\,\it{3}}\rightarrow \it{0}$ . Bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng!

Hai biến bằng nhau, ở đây là  $\it{z}= \it{y}$ , khi đó ta cần chứng minh: $\frac{\it{3}}{\it{2}}\geqq \frac{\it{y}^{\,\it{2}}}{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}}+ \frac{\it{2}\,\it{xy}}{\it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}}\Leftrightarrow \frac{\left ( \it{x}- \it{y} \right )^{\,\it{2}}\left ( \it{3}\,\it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}} \right )}{\it{2}\,\left ( \it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$ .

Spoiler

Xem thêm về phương pháp uvw tại đây: $\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry718588 $\rfloor$