Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{1}{1-xy}\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}$

gtln

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nhuleynguyen

nhuleynguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:---Taylor Swift ---

Đã gửi 16-12-2018 - 11:13

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhuleynguyen: 16-12-2018 - 11:13

“Life isn't about waiting for the storm to pass...It's about learning to dance in the rain.”

#2 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-12-2018 - 16:16

https://diendantoanh...11-yzfrac11-xz/



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 29-12-2018 - 20:15

Viết bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất, ta cần phải chứng minh:

$$\frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{xy}}+ \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{yz}}+ \frac{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}}{\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{2}}- \it{zx}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{2}}$$

Với  $\it{3}\,\it{u}= \it{x}+ \it{y}+ \it{z},\,\it{3}\,\it{v}^{\,\it{2}}= \it{xy}+ \it{yz}+ \it{zx},\,\it{w}^{\,\it{3}}= \it{xyz}$  thì:

$\it{f}\left ( \it{w}^{\,\it{3}} \right )= \it{9}\left ( \it{243}\,\it{u}^{\,\it{6}}- \it{621}\,\it{u}^{\,\it{4}}\it{v}^{\,\it{2}}+ \it{21}\,\it{u}^{\,\it{3}}\it{w}^{\,\it{3}}+ \it{504}\,\it{u}^{\,\it{2}}\it{w}^{\,\it{4}}- \it{14}\,\it{uv}^{\,\it{2}}\it{w}^{\,\it{3}}- \it{132}\,\it{v}^{\,\it{6}}- \it{w}^{\,\it{6}} \right )\geqq \it{0}$  nhưng:

${\it{f}}'\left ( \it{w}^{\,\it{3}} \right )= \it{9}\left ( \it{21}\,\it{u}^{\,\it{3}}- \it{14}\,\it{uv}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{w}^{\,\it{3}} \right )\geqq \it{0}$ , nên $\it{f}$  là hàm lồi, ta cần chứng minh bất đẳng thức trên với giá trị cực đại của  $\it{w}^{\,\it{3}}$  theo  $\it{2}$  trường hợp sau:

$\it{w}^{\,\it{3}}\rightarrow \it{0}$ . Bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng!

Hai biến bằng nhau, ở đây là  $\it{z}= \it{y}$ , khi đó ta cần chứng minh: $\frac{\it{3}}{\it{2}}\geqq \frac{\it{y}^{\,\it{2}}}{\it{y}^{\,\it{2}}+ \it{x}^{\,\it{2}}}+ \frac{\it{2}\,\it{xy}}{\it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}}}\Leftrightarrow \frac{\left ( \it{x}- \it{y} \right )^{\,\it{2}}\left ( \it{3}\,\it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}} \right )}{\it{2}\,\left ( \it{x}^{\,\it{2}}+ \it{y}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{x}^{\,\it{2}}- \it{xy}+ \it{2}\,\it{y}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$ .

Spoiler

 

 

 

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh