Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}} &khi &x\neq 1 \\ k&khi &x=1 \end{matrix}\right.$.
Tìm $k$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$.
A. $k=2\sqrt{2019}$
B. $k= \frac{2017.\sqrt{2018}}{2}$
C. $k= 1$
D. $k=\frac{2016}{2017}\sqrt{2019}$
Giải chi tiết giúp mình với ạ!
Ta có: $x^{2016}+x-2=x^{2016}-1+(x-1)=(x-1)(x^{2015}+x^{2014}+...+1)+(x-1)=(x-1)(x^{2015}+x^{2014}+...+2)$.
Khi đó: $\frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}}=\frac{(x^{2016}+x-2)(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018})}{2018x+1-x-2018}$
$=\frac{(x-1)(x^{2015}+x^{2014}+...+2)(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018})}{2017(x-1)}=\frac{(x^{2015}+x^{2014}+...+2)(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018})}{2017}$.
Vậy để hàm số đã cho liên tục tại $x=1$ thì $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=k=\frac{(1^{2015}+1^{2014}+...+2)(\sqrt{2018*1+1}+\sqrt{1+2018})}{2017}=\frac{2017.2\sqrt{2019}}{2017}=2\sqrt{2019}$.
Vậy $k=2\sqrt{2019}$ là giá trị cần tìm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-12-2018 - 16:53