Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haiyen8a: 17-12-2018 - 21:29
Tìm số phần tử của S
#1
Đã gửi 17-12-2018 - 21:26
#2
Đã gửi 20-12-2018 - 11:32
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | \frac{x^{2}+mx+m}{x+1} \right |$ trên $[1;2]$ bằng $2$. Số phần tử của $S$ là:A. 3B. 1C. 4D. 2Giải chi tiết giúp mình với ạ!
Nhận xét hàm số $y=\left | \frac{x^2+mx+m}{x+1} \right |$ là hàm liên tục trên $[1;2]$ và nó đạt GTLN bằng $2$ trên $[1;2]$ $\Leftrightarrow$ hàm $z=\frac{(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^2}$ đạt GTLN bằng $4$ trên $[1;2]$
Xét hàm $z=\frac{(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^2}$ trên $[1;2]$ :
$z'=\frac{2(x^2+mx+m)(2x+m)(x+1)^2-2(x+1)(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^4}=\frac{2(x^2+mx+m)(x^2+2x)}{(x+1)^3}$
(Vậy dấu của $z'$ cũng chính là dấu của $g(x)=x^2+mx+m$)
Xét các trường hợp :
1) $m^2-4m\leqslant 0$ (tức $0\leqslant m\leqslant 4$) :
Khi đó $g(x)\geqslant 0\Rightarrow z'\geqslant 0,\forall x\Rightarrow z$ đồng biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(2)$
2) $m^2-4m> 0$ (tức $m< 0$ hoặc $m> 4$) :
Khi đó $g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1< x_2$). Dễ thấy rằng luôn luôn có $x_1< 0$.
a) $x_2> 2$ (tức $m< -\frac{4}{3}$) $\Rightarrow g(x)< 0,\forall x\in[1;2]\Rightarrow z$ nghịch biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(1)$
b) $1\leqslant x_2\leqslant 2$ (tức $-\frac{4}{3}\leqslant m\leqslant -\frac{1}{2}$)
Khi đó hàm $z$ có điểm cực tiểu thuộc $[1;2]$
+ $z_{max}=z(1)\Leftrightarrow z(1)\geqslant z(2)\Leftrightarrow \frac{(2m+1)^2}{4}\geqslant \frac{(3m+4)^2}{9}\Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leqslant m\leqslant -\frac{11}{12}$
+ $z_{max}=z(2)\Leftrightarrow -\frac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\frac{1}{2}$
c) $x_1< x_2< 1$ (tức $-\frac{1}{2}< m< 0$ hoặc $m> 4$)
Khi đó $g(x)> 0,\forall x\in[1;2]\Rightarrow z$ đồng biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(2)$
Tóm lại : $z_{max}$ bằng $z(1)$ nếu $m\leqslant -\frac{11}{12}$ ; bằng $z(2)$ nếu $m\geqslant -\frac{11}{12}$
+ Nếu $m\leqslant -\frac{11}{12}$ :
$z_{max}=z(1)=\frac{(2m+1)^2}{4}=4\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2}$
+ Nếu $m\geqslant -\frac{11}{12}$ :
$z_{max}=z(2)=\frac{(3m+4)^2}{9}=4\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}$
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài $\Rightarrow$ số phần tử của $S$ là $2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-12-2018 - 19:50
- haiyen8a yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh