Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số phần tử của S

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
haiyen8a

haiyen8a

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | \frac{x^{2}+mx+m}{x+1} \right |$ trên $[1;2]$ bằng $2$. Số phần tử của $S$ là:
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Giải chi tiết giúp mình với ạ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haiyen8a: 17-12-2018 - 21:29


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | \frac{x^{2}+mx+m}{x+1} \right |$ trên $[1;2]$ bằng $2$. Số phần tử của $S$ là:
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Giải chi tiết giúp mình với ạ!

 

Nhận xét hàm số $y=\left | \frac{x^2+mx+m}{x+1} \right |$ là hàm liên tục trên $[1;2]$ và nó đạt GTLN bằng $2$ trên $[1;2]$ $\Leftrightarrow$ hàm $z=\frac{(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^2}$ đạt GTLN bằng $4$ trên $[1;2]$

Xét hàm $z=\frac{(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^2}$ trên $[1;2]$ :

$z'=\frac{2(x^2+mx+m)(2x+m)(x+1)^2-2(x+1)(x^2+mx+m)^2}{(x+1)^4}=\frac{2(x^2+mx+m)(x^2+2x)}{(x+1)^3}$

(Vậy dấu của $z'$ cũng chính là dấu của $g(x)=x^2+mx+m$)

Xét các trường hợp :

1) $m^2-4m\leqslant 0$ (tức $0\leqslant m\leqslant 4$) :

    Khi đó $g(x)\geqslant 0\Rightarrow z'\geqslant 0,\forall x\Rightarrow z$ đồng biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(2)$

2) $m^2-4m> 0$ (tức $m< 0$ hoặc $m> 4$) :

    Khi đó $g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1< x_2$). Dễ thấy rằng luôn luôn có $x_1< 0$.

    a) $x_2> 2$ (tức $m< -\frac{4}{3}$) $\Rightarrow g(x)< 0,\forall x\in[1;2]\Rightarrow z$ nghịch biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(1)$

    b) $1\leqslant x_2\leqslant 2$ (tức $-\frac{4}{3}\leqslant m\leqslant -\frac{1}{2}$)

        Khi đó hàm $z$ có điểm cực tiểu thuộc $[1;2]$

        + $z_{max}=z(1)\Leftrightarrow z(1)\geqslant z(2)\Leftrightarrow \frac{(2m+1)^2}{4}\geqslant \frac{(3m+4)^2}{9}\Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leqslant m\leqslant -\frac{11}{12}$

        + $z_{max}=z(2)\Leftrightarrow -\frac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\frac{1}{2}$

    c) $x_1< x_2< 1$ (tức $-\frac{1}{2}< m< 0$ hoặc $m> 4$)

        Khi đó $g(x)> 0,\forall x\in[1;2]\Rightarrow z$ đồng biến trên $[1;2]$ $\Rightarrow z_{max}=z(2)$

   

Tóm lại : $z_{max}$ bằng $z(1)$ nếu $m\leqslant -\frac{11}{12}$ ; bằng $z(2)$ nếu $m\geqslant -\frac{11}{12}$

 

+ Nếu $m\leqslant -\frac{11}{12}$ :

   $z_{max}=z(1)=\frac{(2m+1)^2}{4}=4\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2}$

+ Nếu $m\geqslant -\frac{11}{12}$ :

   $z_{max}=z(2)=\frac{(3m+4)^2}{9}=4\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}$

 

Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài $\Rightarrow$ số phần tử của $S$ là $2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-12-2018 - 19:50

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh