Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} \geq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 19-12-2018 - 00:12

a,b,c>0

Hình gửi kèm

  • BĐT.PNG


#2 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 19-12-2018 - 00:17

a,b,c thuộc R

a^2+b^2+c^2 =1

Hình gửi kèm

  • BĐT2.PNG


#3 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2018 - 11:49

bài 2 thay 1=$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ rồi schwarz ngược lại là ra thì phải 



#4 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2018 - 12:09

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 



#5 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 19-12-2018 - 20:30

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 

Cảm ơn bạn nhiều nha.



#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1485 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 19-12-2018 - 20:37

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}\geqq \it{0}$
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-12-2018 - 09:18


#7 Marshmello

Marshmello

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huyện Thuận Thành - Tỉnh Bắc Ninh
  • Sở thích:Nghe nhạc không lời , giải toán , xem AOT , Conan ....

Đã gửi 20-12-2018 - 16:42

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}$

Spoiler

Cái này lớp 8 chưa học mà bạn 


Đẹp trai nhưng không ai công nhận  :(


#8 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 28-12-2018 - 23:52

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c} + \frac{c}{a} )$



#9 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 29-12-2018 - 00:01

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} +\frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

a,b,c dương . a+b+c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kitaro1006: 29-12-2018 - 00:02





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh