Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} \geq 1$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

a,b,c>0

Hình gửi kèm

  • BĐT.PNG


#2
Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

a,b,c thuộc R

a^2+b^2+c^2 =1

Hình gửi kèm

  • BĐT2.PNG


#3
vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

bài 2 thay 1=$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ rồi schwarz ngược lại là ra thì phải 



#4
vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 



#5
Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 

Cảm ơn bạn nhiều nha.



#6
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết
$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}\geqq \it{0}$
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-12-2018 - 09:18


#7
Marshmello

Marshmello

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết

$$\sum\limits_{\it{cyc}} \frac{\it{a}^{\,\it{2}}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \it{1}= \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )^{\,\it{2}}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )}+ \frac{\left ( \it{b}- \it{c} \right )^{\,\it{2}}}{3\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )}+$$ $$+ \frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left ( \it{b}- \it{c} \right )\it{Q}}{\it{3}\left ( \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{c}^{\,\it{2}} \right )\left ( \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{ca}+ \it{a}^{\,\it{2}} \right )}\geqq \it{0}$$
với $\it{b}= \text{mid}\left \{ \it{a},\,\it{b},\,\it{c} \right \},\,\it{Q}= \it{a}^{\,\it{3}}\it{b}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{3}}\it{c}+ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{c}+ \it{2}\,\it{c}^{\,\it{2}}\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{a}\it{b}^{\,\it{2}}\it{c}- \it{ab}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{a}\it{c}^{\,\it{3}}- \it{b}^{\,\it{2}}\it{c}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}\it{c}^{\,\it{3}}$

Spoiler

Cái này lớp 8 chưa học mà bạn 


Đẹp trai nhưng không ai công nhận  :(


#8
Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c} + \frac{c}{a} )$



#9
Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} +\frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

a,b,c dương . a+b+c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kitaro1006: 29-12-2018 - 00:02





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh