Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 20-12-2018 - 23:11

1. Cho a,b,c>0 và $ab^{2}c^{2}+a^{2}c+b=3c^{^{2}}$. Tìm max $P=\frac{c^{}4}{1+c^{4}(a^{}4+b^{4})}$

 

2. cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và a+b+c=3 . cmr $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

 

3. Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm max $P=\sum \frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}$

 

4. Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . CMR $\sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

 

5. Cho x,y,z >0. CMR $\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}\geq \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}}$

 

6. Cho a,b,c>0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR $\sum \frac{^{\sqrt{3a^{2}+4ab+3b^{2}}}}{ab}\geq 3\sqrt{30}$



#2 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 21-12-2018 - 11:04

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây  



#3 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 21-12-2018 - 14:46

câu 6 : $\sum \frac{\sqrt{3a^{2}+4ab+3b^{2}}}{ab}\geq \sum \frac{\sqrt{10ab}}{ab}=\sum \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{ab}}\geq \sum \frac{9\sqrt{10}}{\sum \sqrt{ab}}\geq \frac{9\sqrt{10}}{a+b+c}\geq \frac{9\sqrt{10}}{\sqrt{3(\sum a^{2})}}=3\sqrt{30}$



#4 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 21-12-2018 - 15:01

câu 5 : đpcm <=>$\prod \sqrt{x+y}(\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}) \geq 4(x+y+z)$

Ta có : $\prod \sqrt{x+y}(\sum \frac{\sqrt{y+z}}{x}) = \sum \frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}\geq \sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}=\sum (y+z)+\sum \frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}=2(x+y+z)+\sum \frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}\geq 2(x+y+z)+\sum \frac{2yz}{x}$

Để chứng minh hoàn tất ta chỉ ra : 

$\sum \frac{2yz}{x}\geq 2(x+y+z)$

Thật vậy : $\sum \frac{2yz}{x}\geq 2(x+y+z)$

<=>$\frac{2(\sum (yz)^{2})}{xyz}\geq 2(x+y+z)$

<=>$2(\sum (yz)^{2})\geq 2xyz(x+y+z) <=>\sum y^{2}z^{2}\geq xyz(x+y+z)$ (luôn đúng vì đây là bđt $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ trong đó a=xy,b=yz,c=xz)

 



#5 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 21-12-2018 - 15:02

câu 3 đề là max hay min bạn với lại 3 hay $\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 21-12-2018 - 15:54


#6 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 21-12-2018 - 17:10

câu 2 : gs a lớn nhất a thuộc khoảng [1,2] . (1$\leq$ a $\leq$ 2 ) 

Ta có : $b^{3} + c^{3} \leq (b+c)^{3}$ = $(3-a)^{3}$

Ta có : $a^{3} + b^{3} + c^{3} \leq$ $a^{3} + (3-a)^3$ = 27-27a+$9a^{2} -a^{3} + a^{3}$=27-27a+$9a^{2}$

Ta chứng minh : 27-27a+$9a^{2}$ $\leq$ 9 

<=>$9a^{2} - 27a +18 \leq$ 0 

<=> 9($a^{2}$ -3a+2) $\leq$ 0 

<=> 9(a-1)(a-2) $\leq$ 0 (luôn đúng với mọi a thuộc khoảng [1,2]

dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2) và các hoán vị 



#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 23-12-2018 - 13:04

Với $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$ thì: $\it{0}< \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}\leqq 1$

Xét trường hợp ít nhất một trong ba biến bằng $0$ , không mất tính tổng quát trong chứng minh, chẳng hạn $\it{a}$ , khi đó:

 

$$\it{1}- \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}- \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )= \frac{\it{bc}\left ( \it{1}- \it{bc} \right )}{\left ( \it{b}+ \it{1} \right )\left ( \it{c}+ \it{1} \right )}\geqq \it{0}$$

 

Giờ đây, ta chỉ cần đặt: $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!

Spoiler

 



#8 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 23-12-2018 - 18:27

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây



#9 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 23-12-2018 - 18:29

Cậu chữa hộ mình đc ko? Nói ý chính thôi. Thanks

#10 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 23-12-2018 - 18:31

câu 3 đề là max hay min bạn với lại 3 hay $\sqrt{3}$



#11 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 23-12-2018 - 18:33

Cho mình xin lỗi ấy là tìm MIN còn kia là căn 3 nhá
Cậu làm với 3 thì như thế nào

#12 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 24-12-2018 - 22:12

câu 1 đề thi chuyên tin lam sơn năm gần đây  

cậu trả lời luôn hộ mình đc ko ? nói ý chính thôi. ko cậu gửi link của đề thi ấy cho mình mượn. Cám ơn nhiều!!!



#13 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 24-12-2018 - 22:46

cậu trả lời luôn hộ mình đc ko ? nói ý chính thôi. ko cậu gửi link của đề thi ấy cho mình mượn. Cám ơn nhiều!!

Bạn cần gấp không @@ giờ mình bận quá trưa mai mình gửi cho bạn @@ 



#14 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 25-12-2018 - 12:24

Bạn cần gấp không @@ giờ mình bận quá trưa mai mình gửi cho bạn @@ 

Thanks bạn



#15 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 25-12-2018 - 23:01

câu 1 : @@ 

$ab^{2}c^{2} + a^{2}c + b = 3c^{2}$

<=> $ab^{2} + a^2/c + b/c^2 =3$

đặt a=x , b=y , $\frac{1}{c}$=z

 

=>$xy^{2} + x^{2}z + yz^{2} =3$

Ta có : $\frac{c^{4}}{1+c^{4}(a^{4}+b^{4})}$ 

= $\frac{1}{\frac{1}{c^{4}} + a^{4} + b^{4}}$ 

= $\frac{1}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$

Ta có : 

$x^{4} + y^{4} + y^{4} + 1 \geq 4xy^{2}$ (1)

$x^{4} + x^{4} + z^{4} + 1 \geq 4x^{2}z$ (2)

$z^{4} + z^{4} +y^{4} + 1 \geq 4z^{2}y$ (3)

(1),(2),(3) suy ra : 

$x^{4} + y^{4} + y^{4} + 1 +x^{4} + x^{4} + z^{4} + 1 + z^{4} + z^{4} +y^{4} + 1  \geq 4xy^{2} +4x^{2}z +4z^{2}y$

<=> 3($x^{4} + y^{4} + z^{4} ) + 3 \geq 4xy^{2} +4x^{2}z +4z^{2}y$

<=> 3($x^{4} + y^{4} + z^{4} ) +3 \geq 12$

<=>$x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq 3$

=> $\frac{1}{x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ $\leq$ $\frac{1}{3}$

Dấu = khi a=b=c=1



#16 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tây Ninh

Đã gửi 25-12-2018 - 23:03

câu 3 bạn còn cần không để hôm nào mình gửi luôn cho 



#17 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 26-12-2018 - 18:30

$\lceil\,\,2\,\,\rfloor$ Tổng quát:

$\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\in \left [ \it{0},\,\it{2} \right ],\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}= \it{3}$ thì: $\it{a}^{\,\it{p}}+ \it{b}^{\,\it{p}}+ \it{c}^{\,\it{p}}\leqq \it{2}^{\,\it{p}}+ \it{1}\,\,\left ( \it{p}\geqq \it{1} \right )$

 



#18 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 26-12-2018 - 22:49

Với $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$ thì: $\it{0}< \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}\leqq 1$

Xét trường hợp ít nhất một trong ba biến bằng $0$ , không mất tính tổng quát trong chứng minh, chẳng hạn $\it{a}$ , khi đó:

 

$$\it{1}- \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}- \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )= \frac{\it{bc}\left ( \it{1}- \it{bc} \right )}{\left ( \it{b}+ \it{1} \right )\left ( \it{c}+ \it{1} \right )}\geqq \it{0}$$

 

Giờ đây, ta chỉ cần đặt: $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!

Bạn có thể trả lời cụ thể hơn ko. Mình ko hiểu! cám ơn



#19 MyWorldMaths

MyWorldMaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 26-12-2018 - 22:50

câu 3 bạn còn cần không để hôm nào mình gửi luôn cho 

Được. cám ơn bạn. 

Mình có mới đăng một số bài. bạn vào nghiên cứu thử nhé!!



#20 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 29-12-2018 - 18:59

Với $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$ thì: $\it{0}< \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}\leqq 1$

Xét trường hợp ít nhất một trong ba biến bằng $0$ , không mất tính tổng quát trong chứng minh, chẳng hạn $\it{a}$ , khi đó:

 

$$\it{1}- \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}- \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )= \frac{\it{bc}\left ( \it{1}- \it{bc} \right )}{\left ( \it{b}+ \it{1} \right )\left ( \it{c}+ \it{1} \right )}\geqq \it{0}$$

 

Giờ đây, ta chỉ cần đặt: $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!

Spoiler

Cho $\it{x}\in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\Rightarrow \frac{\it{1}- \it{x}}{\it{x}}\geqq \it{0}$ . Sử dụng $\lceil$ Phép thế Ravi $\rfloor$ , ta đặt: $\it{u}= \frac{\it{1}- \it{x}}{\it{x}}\rightarrow \it{x}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{u}}\,\,\left ( \it{u}\geqq \it{0} \right )$ .

Áp dụng cho bài trên tương tự, chỉ cần xét $\it{a}+ \it{b}+ \it{c}> 0$ . Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$$\sum\limits_{cyc}\,\left ( \frac{\it{a}}{\it{a}+ \it{b}+ \it{c}}- \frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}} \right )\geqq \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )$$

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{\it{a}\left ( \it{1}- \it{a} \right )}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}\geqq \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\left ( \it{a}+ \it{b}+ \it{c} \right )$$

$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left [ \it{a}\left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}- \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right ) \right ) \right ]\geqq \it{0}\Leftarrow \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}- \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\geqq \it{0}$$

Đó là điều ta cần chứng minh với: $\it{b}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{m}},\,\it{c}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{n}}\Rightarrow$ $\frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}\geqq \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )}{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )+ \it{m}+ \it{n}+ \it{2}}\geqq \frac{\it{mn}}{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )}\Leftrightarrow \left ( \it{m}+ \it{n}+ \it{1} \right )^{\,\it{2}}\geqq \it{mn}$

Ngoài ra, lí giải cho cách đặt ẩn trên:

$$\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$$

Với mọi phân số $\frac{\it{u}}{\it{v}}\in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\Leftrightarrow \frac{\it{u}+ \it{k}}{\it{v}+ \it{k}} \in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\,\,\left ( \it{k}\geqq 0 \right )$ , hay với bất kì $\frac{\text{U}}{\text{V}}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{x}}\Rightarrow \frac{\it{u}}{\it{v}}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}}$ .

Spoiler

Ngoài ra với bất kì $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{kx}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{ky}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{kz}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{z}}\,\,\left ( k\geqq \it{0} \right )$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$  đều không âm!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh