Với $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$ thì: $\it{0}< \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}\leqq 1$
Xét trường hợp ít nhất một trong ba biến bằng $0$ , không mất tính tổng quát trong chứng minh, chẳng hạn $\it{a}$ , khi đó:
$$\it{1}- \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}- \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )= \frac{\it{bc}\left ( \it{1}- \it{bc} \right )}{\left ( \it{b}+ \it{1} \right )\left ( \it{c}+ \it{1} \right )}\geqq \it{0}$$
Giờ đây, ta chỉ cần đặt: $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!
Cho $\it{x}\in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\Rightarrow \frac{\it{1}- \it{x}}{\it{x}}\geqq \it{0}$ . Sử dụng $\lceil$ Phép thế Ravi $\rfloor$ , ta đặt: $\it{u}= \frac{\it{1}- \it{x}}{\it{x}}\rightarrow \it{x}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{u}}\,\,\left ( \it{u}\geqq \it{0} \right )$ .
Áp dụng cho bài trên tương tự, chỉ cần xét $\it{a}+ \it{b}+ \it{c}> 0$ . Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$$\sum\limits_{cyc}\,\left ( \frac{\it{a}}{\it{a}+ \it{b}+ \it{c}}- \frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}} \right )\geqq \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\frac{\it{a}\left ( \it{1}- \it{a} \right )}{\it{b}+ \it{c}+ \it{1}}\geqq \left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\left ( \it{a}+ \it{b}+ \it{c} \right )$$
$$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc}\left [ \it{a}\left ( \it{1}- \it{a} \right )\left ( \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}- \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right ) \right ) \right ]\geqq \it{0}\Leftarrow \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}- \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\geqq \it{0}$$
Đó là điều ta cần chứng minh với: $\it{b}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{m}},\,\it{c}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{n}}\Rightarrow$ $\frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{b}+ \it{c}}\geqq \left ( \it{1}- \it{b} \right )\left ( \it{1}- \it{c} \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )}{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )+ \it{m}+ \it{n}+ \it{2}}\geqq \frac{\it{mn}}{\left ( \it{1}+ \it{m} \right )\left ( \it{1}+ \it{n} \right )}\Leftrightarrow \left ( \it{m}+ \it{n}+ \it{1} \right )^{\,\it{2}}\geqq \it{mn}$
Ngoài ra, lí giải cho cách đặt ẩn trên:
$$\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{y}}{\it{1}+ \it{y}+ \it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{z}}{\it{1}+ \it{z}+ \it{z}}$$
Với mọi phân số $\frac{\it{u}}{\it{v}}\in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\Leftrightarrow \frac{\it{u}+ \it{k}}{\it{v}+ \it{k}} \in \left ( \it{0},\,\it{1} \right ]\,\,\left ( \it{k}\geqq 0 \right )$ , hay với bất kì $\frac{\text{U}}{\text{V}}= \frac{\it{1}}{\it{1}+ \it{x}}\Rightarrow \frac{\it{u}}{\it{v}}= \frac{\it{1}+ \it{x}}{\it{1}+ \it{x}+ \it{x}}$ .
Ngoài ra với bất kì $\it{a}= \frac{\it{1}+ \it{kx}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{x}},\,\it{b}= \frac{\it{1}+ \it{ky}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{y}},\,\it{c}= \frac{\it{1}+ \it{kz}}{\it{1}+ \left ( \it{k}+ \it{1} \right )\it{z}}\,\,\left ( k\geqq \it{0} \right )$ , sẽ có được biểu thức vế trái với hệ số của $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}$ đều không âm!