Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Thao Anh 2007]

Tìm các số nguyên tố $p,q$ và số tự nhiên $n$ để: $2^n.p^2+1=q^5$.

[vmf999]

không biết mình làm đúng không @@ : 

Xét q=2 ( bạn tự xét) 

Xét q>2 : 

$2^{n}$.$p^{2}$ + 1 = $q^{5}$

 <=> $2^{n}$.$p^{2}$ =  $q^{5}$-1

<=>$2^{n}$.$p^{2}$ = (q-1)($q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1$)

Do q>2 và q nguyên tố nên q lẻ 

=> ($q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1$) không chia hết cho 2 

=> q-1 $\vdots$ $2^{n}$

=> q-1 $\geq$ $2^{n}$ 

Gỉa sử q-1 > $2^{n}$ 

=> q-1=$2^{n}$.k 

nếu k=p 

=> q-1=$2^{n}$.p

=>$q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1$=p 

=>  q-1 $\geq$ $q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1$ ( vô lí bạn có thể tự chứng minh ) 

nếu k khác p 

=> $p^{2}$ $\vdots$ k ( vô lí do p nguyên tố )

Vậy q-1 = $2^{n}$ 

Khi đó $q^{4} + q^{3} + q^{2} + q + 1$ = $p^{2}$ 

Để giải phương trình này bạn tham khảo ở đây https://diendantoanh...nh-y2-1xx2x3x4/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 23-12-2018 - 22:38