Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

HOMC 2017

nguyên lý bất biến

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 eLcouQTai

eLcouQTai

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết

Đã gửi 24-12-2018 - 16:09

Viết 2017 số trên bảng: $-\frac{1008}{1008},-\frac{1007}{1008},...,-\frac{1}{1008},0,\frac{1}{1008},\frac{2}{1008},...,\frac{1007}{1008},\frac{1008}{1008}$

Chúng ta thực hiện quy trình sau: Xóa hai số bất kì trên bảng x, y, sau đó viết thêm số x+7xy+y. Sau 2016 bước còn lại một số. Hỏi số đó là gì? (HOMC 2017)



#2 vmf999

vmf999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-12-2018 - 23:14

gọi các số trên bảng là x1 , x2 , x3 ,x4 ,x5 ,...., x2017

Ta xét dãy : (7.x1 +1)(7.x2+1)...(7.x2017 + 1 )

Khi ta xóa đi hai số bất kì trên bảng thì tích trên mất đi hai số hạng là (7x+1)(7y+1) và thay vào số mới là 7(x+y+7xy) +1 =(7x+1)(7y+1)

Do đó nếu xóa đi hai số bất kì thì tích trên luôn không đổi và (7.x1 +1)(7.x2+1)...(7.x2017 + 1 )=0(do 7.$\frac{-144}{1008}+1 = -1+1 = 0$)

Do đó sau 2016 bước thực hiện thì tích trên bảng vẫn bằng 0 và số còn lại (7h+1) phải thỏa tính chất trên tức là : 

7h+1=0 

=> h=$\frac{-144}{1008}$

Vậy số còn lại là $\frac{-144}{1008}$



#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 03-01-2019 - 15:02

Cách giải thực ra có thể đơn giản hơn, ta sẽ chứng minh số $\frac{-144}{1008}=\frac{-1}{7}$ luôn xuất hiện trên bảng. Từ đó suy ra số cuối cùng trên bảng là: $\frac{-1}{7}.$0

Thật vậy, trong mỗi bước của quy trình, nếu số $\frac{-1}{7}$ là một trong hai số được số thì số được thêm vào là:

$\frac{-1}{7}+7.\frac{-1}{7}.y+y=\frac{-1}{7}.$ 

Còn nếu trong mỗi bước của chu trình số $\frac{-1}{7}$ không tham gia thì hiển nhiện số $\frac{-1}{7}$ vẫn nằm ở trên bảng.

Từ đó ta có điều phải chứng minh!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-01-2019 - 15:03





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh