Chủ đề này có 2 trả lời

[eLcouQTai]

Viết 2017 số trên bảng: $-\frac{1008}{1008},-\frac{1007}{1008},...,-\frac{1}{1008},0,\frac{1}{1008},\frac{2}{1008},...,\frac{1007}{1008},\frac{1008}{1008}$

Chúng ta thực hiện quy trình sau: Xóa hai số bất kì trên bảng x, y, sau đó viết thêm số x+7xy+y. Sau 2016 bước còn lại một số. Hỏi số đó là gì? (HOMC 2017)

[vmf999]

gọi các số trên bảng là x1 , x2 , x3 ,x4 ,x5 ,...., x2017

Ta xét dãy : (7.x1 +1)(7.x2+1)...(7.x2017 + 1 )

Khi ta xóa đi hai số bất kì trên bảng thì tích trên mất đi hai số hạng là (7x+1)(7y+1) và thay vào số mới là 7(x+y+7xy) +1 =(7x+1)(7y+1)

Do đó nếu xóa đi hai số bất kì thì tích trên luôn không đổi và (7.x1 +1)(7.x2+1)...(7.x2017 + 1 )=0(do 7.$\frac{-144}{1008}+1 = -1+1 = 0$)

Do đó sau 2016 bước thực hiện thì tích trên bảng vẫn bằng 0 và số còn lại (7h+1) phải thỏa tính chất trên tức là : 

7h+1=0 

=> h=$\frac{-144}{1008}$

Vậy số còn lại là $\frac{-144}{1008}$

[hoangtubatu955]

Cách giải thực ra có thể đơn giản hơn, ta sẽ chứng minh số $\frac{-144}{1008}=\frac{-1}{7}$ luôn xuất hiện trên bảng. Từ đó suy ra số cuối cùng trên bảng là: $\frac{-1}{7}.$0

Thật vậy, trong mỗi bước của quy trình, nếu số $\frac{-1}{7}$ là một trong hai số được số thì số được thêm vào là:

$\frac{-1}{7}+7.\frac{-1}{7}.y+y=\frac{-1}{7}.$ 

Còn nếu trong mỗi bước của chu trình số $\frac{-1}{7}$ không tham gia thì hiển nhiện số $\frac{-1}{7}$ vẫn nằm ở trên bảng.

Từ đó ta có điều phải chứng minh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-01-2019 - 15:03