Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatminhkh2602]

Cho a,b,c là 3 số thực dương.Chứng minh rằng :

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

[BaNam]

1:
   $\Leftrightarrow$ $\frac{a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b}{abc}$ $\geq$ $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
   $\Leftrightarrow$ $a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b$ $\geq$ $(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}$ $(*)$

  Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số ta có: 
       $a^{2}c+ab^{2}+a^{2}c$ $\geq$ $3\sqrt[3]{a^{5}b^{2}c^{2}}$ $(1)$
    $\Leftrightarrow$ $\frac{a^{2}c+ab^{2}+a^{2}}{3}$ $\geq$ $a\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
  Chứng minh tương tự ta có:
    $\frac{ab^{2}+ab^{2}+bc^{2}}{3}$ $\geq$ $b\sqrt[3]{(abc)^{2}}$ $(2)$
    $\frac{bc^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{3}$ $\geq$ $c\sqrt[3]{(abc)^{2}}$  $(3)$
Cộng $(1)$ $(2)$ $(3)$ ta được $(*)$
Vậy ta chứng minh được: $\frac{a}{b}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$ $\geq$ $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$