Giải phương trình $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$
Giải phương trình $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$
#1
Đã gửi 29-12-2018 - 11:09
#2
Đã gửi 29-12-2018 - 17:13
Giải phương trình $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$
ĐK: $x\neq0$
$\Rightarrow$$x\sqrt{x}=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}=x^{2}+x-2+2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}-x^{2}-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Rightarrow$$[(x^{3}-x^{2})-(x-2)]^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$ (Đk để bình phương 2 vế: $x^{3}-x^{2}-x+2\geq0$)
$\Leftrightarrow$ $(x^{3}-x^{2})^{2}-2(x^{3}-x^{2})+(x-2)^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-4x^{5}+x^{4}-2x^{4}+6x^{3}-4x^{2}+x^{2}-4x+4=4(x^{3}-x^{2}+1$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+6x^{3}-3x^{2}-4x+4=4x^{3}-4x^{2}-4x+4$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}=0$
$\Leftrightarrow$ $x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=0$ $(*)$ (Vì $x\geq0$)
Chia cả 2 vế của $(*)$ cho $x^{2}$ ta được
$\Rightarrow$ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x-\frac{1}{x})-1=0$
Đặt $x-\frac{1}{x}=a$ $\Rightarrow$ $a^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
$\Rightarrow$ $a^{2}+2-2a-1=0$
$\Leftrightarrow$ $(a^{2}-2a+1=0$
$\Leftrightarrow$ $a=1$
$\Rightarrow$ $x-\sqrt{1}{x}=1$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}-x-1=0$
$\Rightarrow$ $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Mà $x\geq1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaNam: 29-12-2018 - 17:32
Khi tôi quyết định con đường cho bản thân mình thì kẻ có quyền nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi
-HiddenToki-
#3
Đã gửi 02-01-2019 - 20:49
ĐK: $x\neq0$
$\Rightarrow$$x\sqrt{x}=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}=x^{2}+x-2+2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}-x^{2}-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Rightarrow$$[(x^{3}-x^{2})-(x-2)]^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$ (Đk để bình phương 2 vế: $x^{3}-x^{2}-x+2\geq0$)
$\Leftrightarrow$ $(x^{3}-x^{2})^{2}-2(x^{3}-x^{2})+(x-2)^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-4x^{5}+x^{4}-2x^{4}+6x^{3}-4x^{2}+x^{2}-4x+4=4(x^{3}-x^{2}+1$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+6x^{3}-3x^{2}-4x+4=4x^{3}-4x^{2}-4x+4$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}=0$
$\Leftrightarrow$ $x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=0$ $(*)$ (Vì $x\geq0$)
Chia cả 2 vế của $(*)$ cho $x^{2}$ ta được
$\Rightarrow$ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x-\frac{1}{x})-1=0$
Đặt $x-\frac{1}{x}=a$ $\Rightarrow$ $a^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
$\Rightarrow$ $a^{2}+2-2a-1=0$$\Leftrightarrow$ $(a^{2}-2a+1=0$
$\Leftrightarrow$ $a=1$
$\Rightarrow$ $x-\sqrt{1}{x}=1$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}-x-1=0$
$\Rightarrow$ $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Mà $x\geq1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh