$\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}} +\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}} +\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}$
Cho a+b+c+3. Tìm GTNN của
#1
Đã gửi 29-12-2018 - 20:00
#2
Đã gửi 29-12-2018 - 20:46
Lần sau chú ý sửa lại đề nha.
Đề: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN:
$A$=$\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}$
Giải:
$\Rightarrow$ $A=\frac{a^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ba}}$+$\frac{b^{2}}{\sqrt{2ab+b^{2}+bc}}$+$\frac{c^{2}}{\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$
Ta có:
$A=\frac{a^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ba}}$+$\frac{b^{2}}{\sqrt{2ab+b^{2}+bc}}$+$\frac{c^{2}}{\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$ $\geq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$
Xét: $(\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}$ $\leq$ $3.[(\sqrt{2ac+a^{2}+ab})^{2}+(\sqrt{2ab+b^{2}+bc})^{2}+(\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}]$
$=$ $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3ab+3bc+3ca)$ $=$ $3[(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca]$
$ab+bc+ca$ $\leq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ $=3$ ( Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$)
$\Rightarrow$ $(\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}$ $\leq$ $36$
$\Rightarrow$ $\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}$ $\leq$ $6$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$ $\geq$ $\frac{1}{6}$
$\Rightarrow$ $A$ $\geq$ $\frac{9}{6}$ $=$ $\frac{3}{2}$
Min$(A)$=$\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- Tahsi yêu thích
Khi tôi quyết định con đường cho bản thân mình thì kẻ có quyền nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi
-HiddenToki-
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh