Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^2+b^2+c^2$
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^2+b^2+c^2$
#1
Đã gửi 30-12-2018 - 22:04
#2
Đã gửi 31-12-2018 - 09:07
Đặt $ a= \frac{x}{y}; b= \frac{y}{z}; c= \frac{z}{x}$ $(x,y,z>0)$
Suy ra : $\frac{1}{a}=\frac{y}{x};\frac{1}{b}=\frac{z}{y};\frac{1}{c}=\frac{x}{z} $ và $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=3$
Ta đi chứng minh:
$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$
Ta có:
$3= a+b+c= \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} = \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$
$=>3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)^2 <=> xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$
$<=> \frac{1}{3}(x+y+z)^2 \geq xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$
Lại có:
$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$
$ \sum (\frac{y}{x})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{3}.(x+y+z)^2} =3$
Suy ra:
$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 (1)$
Ta có: BĐT quen thuộc: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3 <=> \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \geq 3 $
$(\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2- 2.(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$
$ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3$
Suy ra : $ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3 (2)$
Từ (1) và (2) suy ra :
$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$
$=> (dpcm)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 31-12-2018 - 09:08
- PiKaChu Pro yêu thích
#3
Đã gửi 31-12-2018 - 10:33
#5
Đã gửi 01-04-2021 - 12:02
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh