Chủ đề này có 4 trả lời

[PiKaChu Pro]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^2+b^2+c^2$

[ThinhThinh123]

Đặt $ a= \frac{x}{y}; b= \frac{y}{z}; c= \frac{z}{x}$  $(x,y,z>0)$

 

Suy ra : $\frac{1}{a}=\frac{y}{x};\frac{1}{b}=\frac{z}{y};\frac{1}{c}=\frac{x}{z} $ và $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=3$

 

Ta đi chứng minh:

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$

 

Ta có:

 

$3= a+b+c= \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} = \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$

 

$=>3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)^2 <=> xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$

 

$<=> \frac{1}{3}(x+y+z)^2 \geq xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$

 

Lại có:

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$

 

$ \sum (\frac{y}{x})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{3}.(x+y+z)^2} =3$

Suy ra: 

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 (1)$

 

Ta có: BĐT quen thuộc: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9$

 

    $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3 <=> \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \geq 3 $

 

$(\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2- 2.(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$

 

$ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3$

 

Suy ra : $ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3 (2)$

 

Từ (1) và (2) suy ra :

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$

 

$=> (dpcm)$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThinhThinh123: 31-12-2018 - 09:08

[DOTOANNANG]

$\lceil$ https://diendantoanh...um-a2/?p=711655 $\rfloor$

[hoangtubatu955]

Đây là một cách trong tài liệu mình viết hồi lớp 11

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 02-01-2019 - 13:11

[KietLW9]

$\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ $a^2 + b^2 +c^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học