Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1
Chứng minh A=$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1
Chứng minh A=$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1
Chứng minh A=$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
Ta có: $A=\prod (a-1+\frac{1}{b})\implies A^2=\prod (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})$
Mà $(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})=ab-a+\frac{a}{c}-b+1-\frac{1}{c}+1-\frac{1}{b}+\frac{1}{bc}=\frac{a}{c}-b-\frac{1}{b}+2\le \frac{a}{c}(\text{ do }b+\frac{1}{b}\ge 2)$.
$\implies A^2=\prod (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})\le \frac{a}{c}.\frac{c}{b}.\frac{b}{a}=1$.
$\implies A\le 1$.
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh