Chủ đề này có 1 trả lời

[Beethoven II]

Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1

Chứng minh A=$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

[tritanngo99]

Cho các số thực dương a, b, c sao cho abc=1

Chứng minh A=$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

Ta có: $A=\prod (a-1+\frac{1}{b})\implies A^2=\prod (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})$

Mà $(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})=ab-a+\frac{a}{c}-b+1-\frac{1}{c}+1-\frac{1}{b}+\frac{1}{bc}=\frac{a}{c}-b-\frac{1}{b}+2\le \frac{a}{c}(\text{ do }b+\frac{1}{b}\ge 2)$.

$\implies A^2=\prod (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})\le \frac{a}{c}.\frac{c}{b}.\frac{b}{a}=1$.

$\implies A\le 1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.