Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+ \sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Mong các anh chị cho e ý kiến vs ạ

Cho a,b,c >0 CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+ \sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$



#2
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum \left(\sqrt{\frac{a+b}{c}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)=(a+b+c)\sum\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \geq 3 \sum\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}$

tới đây sắp thứ tự a,b,c rồi sử dụng bất đẳng thức  Chebyshev là xong


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$\it{0}\leqq \sum\limits_{cyc} \left ( \sqrt{\frac{\it{b}+ \it{c}}{\it{a}}}\,-\,\it{2}\,\sqrt{\frac{\it{a}}{\it{b}+ \it{c}}} \right )= \sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{b}+ \it{c}- \it{2}\,\it{a}}{\sqrt{\it{a}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )}}= \sum\limits_{cyc}\,\frac{\left ( \it{b}- \it{a} \right )+ \left ( \it{c}- \it{a} \right )}{\sqrt{\it{a}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )}}= \sum\limits_{cyc} \left ( \frac{\it{a}- \it{b}}{\sqrt{\it{b}\left ( \it{c}+ \it{a} \right )}}- \frac{\it{a}- \it{b}}{\sqrt{\it{a}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )}} \right )= \sum\limits_{cyc}\,\frac{\left ( \it{a}- \it{b} \right )\left \{ \sqrt{\it{a}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )}- \sqrt{\it{b}\left ( \it{c}+ \it{a} \right )} \right \}}{\sqrt{\it{ab}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )\left ( \it{c}+ \it{a} \right )}}\geqq \it{0}$

 

Điều hiển nhiên là $\it{a}- \it{b}$ $\sqrt{\it{a}\left ( \it{b}+ \it{c} \right )}- \sqrt{\it{b}\left ( \it{c}+ \it{a} \right )}$ luôn cùng dấu (!)



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-04-2021 - 11:58

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh