Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{(a+2b)(a+2c)}+\sqrt{(b+2a)(b+2c)}+\sqrt{(c+2a)(c+2b)} \leq a+b+c+\sqrt{3(ab+bc+ca)}$$
Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{(a+2b)(a+2c)}+\sqrt{(b+2a)(b+2c)}+\sqrt{(c+2a)(c+2b)} \leq a+b+c+\sqrt{3(ab+bc+ca)}$$
Với cùng điều kiện$,$ ta có bất đẳng thức tổng quát sau$:$
$$3\,\sum\,\sqrt{(\,a+ k\,b)(\,a+ k\,c)}\leqq (\,k+ 1\,)\left [ (\,a+ b+ c\,)+ 2\sqrt{3(\,ab+ bc+ ca\,)} \right ]$$
với$:$ $k= constant$ thì $:$ $\left \{ \frac{2}{3}\leqq k\leqq \frac{4}{3} \right \}\,\bigcup\,\left \{ k= \frac{1}{2} \right \}\,\bigcup\,\{\,k= 2\,\}$ là tập của $k$$.$
Với cùng điều kiện$,$ ta có bất đẳng thức tổng quát sau$:$
$$3\,\sum\,\sqrt{(\,a+ k\,b)(\,a+ k\,c)}\leqq (\,k+ 1\,)\left [ (\,a+ b+ c\,)+ 2\sqrt{3(\,ab+ bc+ ca\,)} \right ]$$
với$:$ $k= constant$ thì $:$ $k= 2$ là $constant$ duy nhất$!$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh