Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$5^x-3^y=2$

luyện thi olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 05-01-2019 - 11:23

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1234 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 05-01-2019 - 21:43

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.

Ta có: $5^{x}-3^{y}=2\iff 5^{x}-3^{y}=5-3\iff 5(5^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)(1)$. 

Giả sử $x,y>1$. Do $(5,3)=1\implies 5|3^{y-1}-1$. Lại có: $ord_{5}3=4\implies 4|y-1\implies 2|y-1(1)$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được: $2|x-1(2)$.

Từ $(1)(2)\implies x\equiv y\equiv 1(\text{ mod }2)$

Ta có: $5^{x}=3^{y}+2\equiv 2(\text{mod 9})\iff 5^{x}\equiv 5^{5}(\text{ mod }9)$.

Lại có: $\Phi(9)=6\implies x\equiv 5(\text{ mod }6)\implies x=6a+5(a\ge 1)$.

Đến đây, xét modulo $7$ ta có: $5^{6a+5}\equiv 3^y+2(\text{ mod }7)\iff (5^{6})^a.5^5\equiv 3^{y}+2(\text{ mod }7)(2)$.

Do $5^{6}\equiv 1(\text{ mod }7)$.

Nên từ $(2)\implies 3^{y}\equiv 1(\text{ mod }7)\iff 3^{y}\equiv 3^{6}(\text{ mod }7)$.

Mà $\Phi(7)=6\implies y\equiv 6\equiv 0(\text{ mod }6)\implies y=6b(b>1)$. (vô lý do $y$ là số lẻ) $\implies $ Mâu thuẩn.

Vậy $x=1;y=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-01-2019 - 05:52

  • “Dầu không Thiên phong, hễ gắng tâm thiện niệm thì địa vị cũng đạt hồi đặng”




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh