Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$5^x-3^y=2$

luyện thi olympic

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Kitaro1006

Kitaro1006

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:toán học và những thứ liên quan

Đã gửi 05-01-2019 - 11:23

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.



#2 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 05-01-2019 - 21:43

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.

Ta có: $5^{x}-3^{y}=2\iff 5^{x}-3^{y}=5-3\iff 5(5^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)(1)$. 

Giả sử $x,y>1$. Do $(5,3)=1\implies 5|3^{y-1}-1$. Lại có: $ord_{5}3=4\implies 4|y-1\implies 2|y-1(1)$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được: $2|x-1(2)$.

Từ $(1)(2)\implies x\equiv y\equiv 1(\text{ mod }2)$

Ta có: $5^{x}=3^{y}+2\equiv 2(\text{mod 9})\iff 5^{x}\equiv 5^{5}(\text{ mod }9)$.

Lại có: $\Phi(9)=6\implies x\equiv 5(\text{ mod }6)\implies x=6a+5(a\ge 1)$.

Đến đây, xét modulo $7$ ta có: $5^{6a+5}\equiv 3^y+2(\text{ mod }7)\iff (5^{6})^a.5^5\equiv 3^{y}+2(\text{ mod }7)(2)$.

Do $5^{6}\equiv 1(\text{ mod }7)$.

Nên từ $(2)\implies 3^{y}\equiv 1(\text{ mod }7)\iff 3^{y}\equiv 3^{6}(\text{ mod }7)$.

Mà $\Phi(7)=6\implies y\equiv 6\equiv 0(\text{ mod }6)\implies y=6b(b>1)$. (vô lý do $y$ là số lẻ) $\implies $ Mâu thuẩn.

Vậy $x=1;y=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-01-2019 - 05:52

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh