Chủ đề này có 1 trả lời

[Kitaro1006]

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.

[tritanngo99]

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.

Ta có: $5^{x}-3^{y}=2\iff 5^{x}-3^{y}=5-3\iff 5(5^{x-1}-1)=3(3^{y-1}-1)(1)$. 

Giả sử $x,y>1$. Do $(5,3)=1\implies 5|3^{y-1}-1$. Lại có: $ord_{5}3=4\implies 4|y-1\implies 2|y-1(1)$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được: $2|x-1(2)$.

Từ $(1)(2)\implies x\equiv y\equiv 1(\text{ mod }2)$

Ta có: $5^{x}=3^{y}+2\equiv 2(\text{mod 9})\iff 5^{x}\equiv 5^{5}(\text{ mod }9)$.

Lại có: $\Phi(9)=6\implies x\equiv 5(\text{ mod }6)\implies x=6a+5(a\ge 1)$.

Đến đây, xét modulo $7$ ta có: $5^{6a+5}\equiv 3^y+2(\text{ mod }7)\iff (5^{6})^a.5^5\equiv 3^{y}+2(\text{ mod }7)(2)$.

Do $5^{6}\equiv 1(\text{ mod }7)$.

Nên từ $(2)\implies 3^{y}\equiv 1(\text{ mod }7)\iff 3^{y}\equiv 3^{6}(\text{ mod }7)$.

Mà $\Phi(7)=6\implies y\equiv 6\equiv 0(\text{ mod }6)\implies y=6b(b>1)$. (vô lý do $y$ là số lẻ) $\implies $ Mâu thuẩn.

Vậy $x=1;y=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-01-2019 - 05:52