Mình có bài BĐT này
Cho $x,y,z>0$ và xyz=1. $\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Giải
Mình giải thế này:
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$. Suy ra abc=1
Ta có $\frac{x^{4}y}{x^{2}+1}=\frac{a^{2}}{a^{4}b(a^{2}+1)}$=$\frac{1}{a^{2}b(a^{2}+1)}=\frac{a^{2}b^{2}c^{^{2}}}{a^{^{2}}b(a^{2}+1)}=\frac{bc^{2}}{a^{2}+1}=\frac{bc^{2}(a^{2}+1)-bc^{2}a^{2}}{a^{2}+1}=bc^{2}-\frac{ac}{a^{2}+1}\geq bc^{2}-\frac{ac}{a^{2}+1}=bc^{2}-\frac{c}{2}$
Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế, có: $VT\geq ab^{2}+bc^{^{2}}+ca^{2}-(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2})$ (1)
Áp dụng AM_GM $ab^{2}+\frac{1}{a}\geq 2b$. suy ra $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 2(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
suy ra $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (2)
Từ (1) và (2) có $VT\geq$ \frac{3}{2}(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
đến đây mình ko làm đc nữa. bạn nào giải giùm mình với. các bạn giải cách khác cũng đc. Cám ơn nhiều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyWorldMaths: 06-01-2019 - 14:25