Chủ đề này có 4 trả lời

[MyWorldMaths]

Mình có bài BĐT này

 Cho  $x,y,z>0$ và xyz=1. $\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

                                         Giải

Mình giải thế này:

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$. Suy ra abc=1

Ta có $\frac{x^{4}y}{x^{2}+1}=\frac{a^{2}}{a^{4}b(a^{2}+1)}$=$\frac{1}{a^{2}b(a^{2}+1)}=\frac{a^{2}b^{2}c^{^{2}}}{a^{^{2}}b(a^{2}+1)}=\frac{bc^{2}}{a^{2}+1}=\frac{bc^{2}(a^{2}+1)-bc^{2}a^{2}}{a^{2}+1}=bc^{2}-\frac{ac}{a^{2}+1}\geq bc^{2}-\frac{ac}{a^{2}+1}=bc^{2}-\frac{c}{2}$

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế, có: $VT\geq ab^{2}+bc^{^{2}}+ca^{2}-(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2})$ (1)

Áp dụng AM_GM $ab^{2}+\frac{1}{a}\geq 2b$. suy ra $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 2(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ 

suy ra $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (2)

 

Từ (1) và (2) có $VT\geq$  \frac{3}{2}(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ 

đến đây mình ko làm đc nữa. bạn nào giải giùm mình với. các bạn giải cách khác cũng đc. Cám ơn nhiều.     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyWorldMaths: 06-01-2019 - 14:25

[Arthur Pendragon]

Mình làm tiếp từ (1) nha

$\sum 2a^2c+\sum (ab^2+a) \geq 2\left(\sum \frac{a}{b}+\sum ab\right)=2\sum\left(ab+\frac{a}{b}\right) \geq \sum 4a$

Suy ra: $ab^2+bc^2+ca^2 \geq a+b+c$

Và do đó:

$ab^2+bc^2+ca^2 -\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2} \geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 07-01-2019 - 18:41

[Kim Shiny]

bạn ơi có chỗ sai rồi

 

Mình làm tiếp từ (1) nha

$\sum 2a^2c+\sum (a^2b+b) \geq 2\left(\sum \frac{a}{b}+\sum ab\right)=2\sum\left(ab+\frac{a}{b}\right) \geq \sum 4a$

Suy ra: $a^2b+b^2c+c^2a \geq a+b+c$

Và do đó:

$a^2b+b^2c+c^2a -\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} \geq \frac{3}{2}$

$sử dụng bất đẳng thức cho cái này cơ \sum ab^2$

[Arthur Pendragon]

bạn ơi có chỗ sai rồi

 

$sử dụng bất đẳng thức cho cái này cơ \sum ab^2$

Sorry mình ghi nhầm. Sửa rồi đó!

[MyWorldMaths]

Sao mọi người có thể học giỏi BĐT như vậy đc nhỉ

 

Mình cố gắng học lắm mà rất ít khi tự làm đc bđt

 

Bài khó thì mình làm theo cách thông thường. bài dễ thì mình làm quá lên

 

Mình học bđt đang bị kẹt ở giữa nên khó và dễ đều ko làm đc

 

HELP!!!!