Chủ đề này có 1 trả lời

[gauprothd]

  Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng d qua M vuông góc với HM cắt AO, AB, AC lần lượt tại N, P, Q. Đường thẳng AH và đường thẳng qua A vuông góc HM cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF song song với HN 

[halloffame]

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $O$ thì $BHCA'$ là hình bình hành nên $M$ là trung điểm $HA'.$

Gọi $HA'$ cắt $(O)$ tại $D$ thì $AD \perp HM \Rightarrow \overline{A,D,F}.$ Gọi $AG,BI,CJ$ là đường cao $\Delta ABC$ thì $A,D,J,H,I$ đồng viên.

Gọi đường tròn đường kính $DH$ cắt $DB,DC$ ở $R,L.$ Theo định lí $\sin : \frac{GL}{HB}= \sin \widehat{DBC}, \frac{GL}{HC}= \sin \widehat{DCB}, \frac{DC}{DB}= \frac{ \sin \widehat{DBC}}{ \sin \widehat{DCB}}$

$\Rightarrow \frac{GR}{GL}= \frac{HB}{HC}. \frac{ \sin \widehat{DBC}}{ \sin \widehat{DCB}}= \frac{BJ}{CI}. \frac{DC}{DB}.$ Lại có $\widehat{DJA}= \widehat{DIA}, \widehat{DBA}= \widehat{DCA} \Rightarrow \Delta DJB \sim \Delta DIC \Rightarrow \frac{BJ}{CI}= \frac{DC}{DB} \Rightarrow GR=GL.$

Mặt khác $AD$ là trục đẳng phương $(AIJ),(O);IJ$ trục đẳng phương $(AIJ),(M,MB);BC$ trục đẳng phương $(M,MB),(O) \Rightarrow AD,IJ,BC$ đồng quy ở $S$

$\Rightarrow -1=A(CBGS)=D(CBGS) \Rightarrow GR,GL$ tiếp xúc $(DRL) \Rightarrow (RGL)$ đi qua tâm $(DRL)$ là $K.$

Chú ý $H \in (DRL),$ xét phép nghịch đảo $f$ tâm $H$ phương tích $\overline{HA}. \overline{HG}:$

$f(K)=A',f(M)=D,f(AC)=(HJG),f(AB)=(HIG),f(P)=L,f(Q)=R,f((APQ))=(GRL).$

Do $K \in (GRL)$ nên $A' \in (APQ).$ Do $AH,AO$ đẳng giác trong $\widehat{BAC} \Rightarrow A'E \parallel PQ \parallel AF.$

Vậy $AA'EF$ là hình thang cân và có $O$ tâm $(ADA') \Rightarrow FE \parallel OD.$ Mà $M$ trung điểm $HA' \Rightarrow \Delta HNA'$ cân tại $N \Rightarrow HN \parallel DO \parallel FE.$

Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 13-01-2019 - 15:29