ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Thời gian: 150 phút
Bài 1:
1. Giải phương trình:$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}$
2. Cho $S=\left(1-\frac{2}{2.3}\right) \left(1-\frac{2}{3.4}\right)...\left(1-\frac{2}{2020.2021}\right)$ là một tích của 2019 thừa số. Tính S (Kết quả để ở dạng phân số tối giản).
Bài 2:
1.Biết $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $a^2-ab+b^2$ Chia hết cho 9. Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 3.
2. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $9^n+11$ là tích của $k$ $ (k \in \mathbb{N}, k \geq 2)$ liên tiếp.
Bài 3:
1. Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng trong các số $\frac{1}{x}+\frac{1}{4-y},\frac{1}{y}+\frac{1}{4-z},\frac{1}{z}+\frac{1}{4-x}$ luôn tồn tại ít nhất một số lơn hơn hoặc bằng 1.
2. Với các số thực dưong $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=ab+bc+ca-abc$.
Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,$ (AB < AC)$. đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $S$ là giao điểm của $AI$ và $DE$.
1. Chứng minh tam giác $IAB$ đồng dạng với tam giác $EAS$.
2. Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, $O$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh ba điểm $K,O,S$ thẳng hàng.
3. Gọi $M$ là giao điểm của $KI$ và $AC$. đường thẳng chứa đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $DE$ tại $N$. Chứng minh $AM=AN$.
Bài 5:
Xét bảng ô vuông 10x10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tuỳ ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung một cạnh bất kì đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trên bảng ít nhất 6 lần.
---HẾT---
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 10-01-2019 - 20:03
