Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$

đa thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nhuleynguyen

nhuleynguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:---Taylor Swift ---

Đã gửi 14-01-2019 - 07:33

Tìm $P(x)\in R[x]$ thỏa $\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$


“Life isn't about waiting for the storm to pass...It's about learning to dance in the rain.”

#2 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 14-01-2019 - 08:28

Tìm $P(x)\in R[x]$ thỏa $\left\{\begin{matrix} P(0)=0& \\ P(x^2+1)=[P(x)]^2+1& \\ \end{matrix}\right.$

Xét dãy sau: $a_0=0$ và $a_{n+1}=a_{n}^2+1 \forall n\ge 1,n\in \mathbb{N}$.

Và ta đi chứng minh: $P(a_{n})=a_n\forall n\in \mathbb{N}$.

Thật vậy:

+ Với $n=0\implies P(a_0)=a_0=0$(Đúng)

+ Với $n=1\implies a_1=a_0^2+1=1$ và $P(a_1)=P(a_0^2+1)=P(a_0)^2+1=1\implies P(a_1)=a_1$(Đúng).

Giả sử $P(a_k)=a_k\forall k\ge 2,k\in \mathbb{N}$.

Khi đó ta có: $P(a_{k+1})=P(a_{k}^2+1)=P(a_k)^2+1=(a_{k})^2+1=a_{k+1}$.

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Để ý ta lại thấy rằng dãy $(a_n)$ là dãy tăng ngặt do $a_{n+1}=a_{n}^2+1>a_n$.

Do đó xét đa thức $Q(x)=P(x)-x,Q(x)\in \mathbb{R}[x]$.

Ta nhận thấy rằng: $Q(a_0)=Q(a_1)=...=0$.  Suy ra phương trình này có vô số nghiệm.

Do đó từ đây suy ra được: $Q(x)\equiv 0\implies P(x)\equiv x$.

Vậy $\boxed{P(x)\equiv x}$


  • “Dầu không Thiên phong, hễ gắng tâm thiện niệm thì địa vị cũng đạt hồi đặng”





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh